Obtenha as equações paramétricas e simétricas das seguintes retas:
Passa pelo ponto (1,-1,1) e é paralela à reta x+2=\frac{1}{2} y=z-2.

Passo 1

O enunciado nos pede para achar as equações paramétricas e simétricas de uma reta que passa por (1,-1,1) e é paralela à reta dada por
x+2 = tfrac12 y = z-2
Vamos extrair o vetor direção dessa reta e, em seguida, usar a fórmula da reta P=P0 + tvec v.

Passo 2

Interpretemos a reta
x+2 = tfrac12 y = z-2
em forma paramétrica. Seja t = x+2 = z-2. Então
x = t - 2, z = t + 2,
e como x+2 = t = tfrac12 y, temos
y = 2t
Logo, uma parametrização é
(x,y,z) = (-2,0,2) + t,(1,2,1),
de onde extraímos o vetor direção vec v = (1,2,1).

Passo 3

A reta procurada é paralela a esse vetor direção e passa por P0 = (1,-1,1). Logo, sua forma paramétrica é
x = 1 + t, y = -1 + 2t, z = 1 + t

Passo 4

Para obter a forma simétrica isolamos t em cada coordenada:
t = x - 1, t = y + 12, t = z - 1
Portanto, a equação simétrica é
x - 11 ;=; y + 12 ;=; z - 11

Resposta

Forma paramétrica:
x = 1 + t, y = -1 + 2t, z = 1 + t
Forma simétrica:
x - 11 = y + 12 = z - 11

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