Sejam
e
pertencentes a
.
Para que valores de
a função
é um produto interno em
?
Para que valores de
Passo 1
O enunciado nos dá uma aplicação bilinear
em
. Queremos achar as condições sobre
para que
seja um produto interno, ou seja, para que valham:
. simetria:
,
. positividade definida:
para todo
.
Passo 2
Reescrevemos
em forma matricial. Se
e
, então
onde
Passo 3
Impondo a simetria de
, ou seja
para todos
, obtemos
Portanto a matriz fica
Passo 4
Para
ser positivamente definida, a matriz
deve ser definida-positiva. Um critério simples em
é que todos os menores principais sejam positivos:
. o menor de ordem
:
,
. o determinante:
.
Passo 5
Logo, as condições finais são
Estas garantem simetria e positividade definida, fazendo de
um produto interno em
.
Resposta
As condições necessárias e suficientes são