Sejam u=(x1, x2) e v=(y1, y2) pertencentes a R^2.
Para que valores de a, b, c, d in R a função f é um produto interno em R^2 ?
f(u, v)=a x1 y1+b x1 y2+c x2 y1+d x2 y2

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação bilinear
fl((x1,x2),(y1,y2)r) = a,x1y1 + b,x1y2 + c,x2y1 + d,x2y2
em R^2. Queremos achar as condições sobre a,b,c,dinR para que f seja um produto interno, ou seja, para que valham:
1. simetria: f(u,v)=f(v,u),
2. positividade definida: f(u,u)>0 para todo uneq(0,0).

Passo 2

Reescrevemos f em forma matricial. Se u=(x1,x2) e v=(y1,y2), então
f(u,v)=u^TMv,
onde
M= a & b c & d

Passo 3

Impondo a simetria de f, ou seja u^TMv = v^TMu para todos u,v, obtemos
M = M^T Longrightarrow b = c
Portanto a matriz fica
M = a & b b & d

Passo 4

Para f ser positivamente definida, a matriz M deve ser definida-positiva. Um critério simples em R^2 é que todos os menores principais sejam positivos:
1. o menor de ordem 1: a>0,
2. o determinante: det M = ad - b^2 > 0.

Passo 5

Logo, as condições finais são
b = c, a > 0, ad - b^2 > 0
Estas garantem simetria e positividade definida, fazendo de f um produto interno em R^2.

Resposta

As condições necessárias e suficientes são
c = b, a > 0, ad - b^2 > 0

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