Obtenha o estimador, pelo método da máxima verossimilhança, do parâmetro theta de uma distribuição exponencial. Faça o teste da derivada segunda, lembrando que theta é sempre positivo, bem como todo Xi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma amostra de uma distribuição exponencial com parâmetro . A meta é achar o estimador de por máxima verossimilhança (MLE) e verificar que é de fato um máximo (testando a segunda derivada).
Conteúdo que vamos usar:
  1. Definição de função de verossimilhança para variáveis contínuas.
  2. Uso do logaritmo para simplificar a maximização (log-verossimilhança).
  3. Derivada primeira para encontrar o ponto crítico.
  4. Derivada segunda para confirmar que é máximo.

Passo 2

Escrevendo a função de verossimilhança. Como cada f(xi;theta) ;=; theta e^-theta xi, xi>0, tem densidade
L(theta) =prodi=1^n f(xi;theta) =prodi=1^n l(theta e^-theta xir) =theta^n expl(-theta sumi=1^n xir)
a verossimilhança conjunta é

Passo 3

Para facilitar a derivada, usamos a log-verossimilhança:
ell(theta) =ln L(theta) =lnl(theta^nr) -theta sumi=1^n xi = nlntheta ;-;theta sumi=1^n xi

Passo 4

Agora derivamos delldtheta =ntheta -sumi=1^n xi stackrel!=;0 Longrightarrow; ntheta =sumi=1^n xi Longrightarrow; hattheta =nsumi=1^n xi em relação a e igualamos a zero (condição de extremo):

Passo 5

Pra ter certeza que esse d^2elldtheta^2 =-ntheta^2 é máximo (e não mínimo), calculamos a segunda derivada:
Como , temos . Isso quer dizer que a log-verossimilhança é côncava para cima, logo o ponto crítico é um máximo.

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança para boxedhattheta ;=;nsumi=1^n Xi é

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