Obtenha o estimador, pelo método da máxima verossimilhança, do parâmetro
de uma distribuição exponencial. Faça o teste da derivada segunda, lembrando que
é sempre positivo, bem como todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma amostra
de uma distribuição exponencial com parâmetro
. A meta é achar o estimador de
por máxima verossimilhança (MLE) e verificar que é de fato um máximo (testando a segunda derivada).
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Definição de função de verossimilhança para variáveis contínuas.
- Uso do logaritmo para simplificar a maximização (log-verossimilhança).
- Derivada primeira para encontrar o ponto crítico.
- Derivada segunda para confirmar que é máximo.
Passo 2
Escrevendo a função de verossimilhança. Como cada
tem densidade
a verossimilhança conjunta é
Passo 3
Para facilitar a derivada, usamos a log-verossimilhança:
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a zero (condição de extremo):
Passo 5
Pra ter certeza que esse
é máximo (e não mínimo), calculamos a segunda derivada:
Como
, temos
. Isso quer dizer que a log-verossimilhança é côncava para cima, logo o ponto crítico é um máximo.
Resposta
O estimador de máxima verossimilhança para
é