Obtenha o estimador, pelo método da máxima verossimilhança, do parâmetro theta de uma distribuição Poisson. Faça o teste da derivada segunda, lembrando que theta é sempre positivo, bem como todo Xi.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra gente achar, pelo método da máxima verossimilhança, o estimador do parâmetro de uma distribuição de Poisson. Então estamos em Estatística, mais precisamente em Inferência, usando MLE (Maximum Likelihood Estimation).
O que vamos precisar:
  • A função massa de probabilidade da Poisson;
  • Construir a função de verossimilhança para uma amostra ;
  • Passar para o logaritmo (log-verossimilhança) pra facilitar as contas;
  • Derivar em relação a , igualar a zero e resolver;
  • Fazer o teste da segunda derivada pra garantir que achamos um máximo.

Passo 2

Primeiro, a massa de probabilidade de um único P(Xi = xi) ;=; e^-theta,theta^xixi!, é
L(theta) =prodi=1^n e^-theta,theta^xixi! = e^-ntheta,theta^sum xiprod xi!
para e . Como temos observações independentes, a verossimilhança é o produto dessas densidades:

Passo 3

Pra simplificar, pegamos o logaritmo dessa função (log-verossimilhança):
ell(theta) =ln L(theta) =-ntheta + l(sumi=1^n xir)lntheta ;-;sumi=1^n ln(xi!)
A parte não depende de , então na derivada some.

Passo 4

Encontrar o máximo significa derivar delldtheta =-n + sumi=1^n xitheta = 0 em relação a sum xitheta = n Longrightarrow hattheta =sumi=1^n xin =bar X, e igualar a zero:
Isolando :
ou seja, o estimador de máxima verossimilhança é a média amostral.

Passo 5

Pra ter certeza de que é um máximo e não mínimo, olhamos a segunda derivada:
d^2elldtheta^2 =-,sumi=1^n xitheta^2
Como e , isso é negativo. Logo, é concavo para baixo e é mesmo um ponto de máximo.

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança para boxedhattheta ;=;bar X ;=;1nsumi=1^n Xi em uma Poisson é

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