Obtenha o estimador, pelo método da máxima verossimilhança, do parâmetro
de uma distribuição Poisson. Faça o teste da derivada segunda, lembrando que
é sempre positivo, bem como todo
.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede pra gente achar, pelo método da máxima verossimilhança, o estimador do parâmetro
de uma distribuição de Poisson. Então estamos em Estatística, mais precisamente em Inferência, usando MLE (Maximum Likelihood Estimation).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- A função massa de probabilidade da Poisson;
- Construir a função de verossimilhança
para uma amostra ; - Passar para o logaritmo (log-verossimilhança) pra facilitar as contas;
- Derivar em relação a
, igualar a zero e resolver; - Fazer o teste da segunda derivada pra garantir que achamos um máximo.
Passo 2
Primeiro, a massa de probabilidade de um único
é
para
e
. Como temos
observações independentes, a verossimilhança é o produto dessas densidades:
Passo 3
Pra simplificar, pegamos o logaritmo dessa função (log-verossimilhança):
A parte
não depende de
, então na derivada some.
Passo 4
Encontrar o máximo significa derivar
em relação a
e igualar a zero:
Isolando
:
ou seja, o estimador de máxima verossimilhança é a média amostral.
Passo 5
Pra ter certeza de que é um máximo e não mínimo, olhamos a segunda derivada:
Como
e
, isso é negativo. Logo, é concavo para baixo e
é mesmo um ponto de máximo.
Resposta
O estimador de máxima verossimilhança para
em uma Poisson é