Uma variável aleatória X que tem distribuição Weibull, com função densidade de probabilidade f(x mid alpha, beta)=alpha beta x^beta-1 exp -alpha x^beta, tem a seguinte esperança:
E(X)=alpha^-1 / beta Gamma(1+beta^-1)
Uma variável Rayleigh, que tem a densidade f(x mid theta)=theta x exp -theta2 x^2, é um caso particular da Weibull.
Obtenha o estimador de theta, pelo método dos momentos.

Passo 1

Beleza, a questão quer que a gente ache o estimador de θ da distribuição Rayleigh pelo método dos momentos. O enunciado lembra que a Rayleigh é um caso especial da Weibull, cuja esperança é
E(X)=alpha^-1/beta,Gammal(1+1/betar)
Então o conteúdo é “método dos momentos” e “propriedades da distribuição Weibull/Rayleigh”. Vamos precisar da média amostral e da fórmula da esperança da Rayleigh.

Passo 2

Primeiro identificamos a Rayleigh como Weibull com parâmetros
beta=2 e alpha=theta2,
porque a densidade Rayleigh é
f(xmidtheta)=theta,x,e^-theta2,x^2 ;;rightarrow;; f(xmidalpha,beta)=alpha,beta,x^beta-1e^-alpha x^beta

Passo 3

Agora usamos a fórmula da esperança da Weibull para β=2 e α=θ/2:
E(X) =alpha^-1/2,Gamma!l(1+tfrac12r) =l(tfractheta2r)^-tfrac12,Gamma!l(tfrac32r)
Sabemos que E(X) =raiz2theta;times;raizpi2 =raizpi2,theta . Logo

Passo 4

No método dos momentos, igualamos a média amostral bar X =E(X) =raizpi2,theta à esperança teórica:
Esse é o princípio: usar o primeiro momento (a média) para estimar o parâmetro.

Passo 5

Só falta resolver essa equação para bar X =raizpi2,theta Longrightarrow bar X^2 =pi2,theta Longrightarrow theta =pi2,bar X^2 :

Resposta

boxed hatthetaMM ;=;pi2,bar X^2

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