Vimos que o estimador de máxima verossimilhança de sigma^2, de uma distribuição normal, é dado por:
sigma^2=sumi=1^n(Xi-barX)^2n ou sigma^2=1n(sumi=1^n Xi^2-n barX^2)
sigma^2 é um estimador consistente para sigma^2 ?

Passo 1

Beleza, o enunciado pergunta se o estimador de máxima verossimilhança
sigma^2 ;=;1nsumi=1^n (Xi-bar X)^2
é consistente para o verdadeiro de uma Normal.
Conteúdos que vamos usar:
  • Definição de consistência (convergência em probabilidade).
  • Lei fraca dos grandes números ou Desigualdade de Chebyshev.
  • Propriedades da distribuição quando os são Normais.

Passo 2

Lembra da definição: um estimador Prl(|hatthetan-theta|>varepsilonr);xrightarrow[ntoinfty];0 é consistente para se, para todo ,
Uma estratégia prática é mostrar que
  1. ,
  2. .
    Aí a Desigualdade de Chebyshev diz que a probabilidade de desviar de some.

Passo 3

Vamos calcular a esperança de El[hatsigma^2r] =El[1nsumi=1^n (Xi-bar X)^2r] =1n,E[sigma^2chi^2,n-1] =1n,sigma^2,(n-1) =n-1n,sigma^2 . Sabemos que, para amostra Normal,
E[hatsigma^2];longrightarrow;sigma^2 .
Então
Quando , , logo

Passo 4

Agora a variância. Usando que Varl[hatsigma^2r] =Varl[sigma^2n,chi^2,n-1r] =sigma^4n^2,2(n-1) =2sigma^4,(n-1)n^2 tem variância ,
E quando , .
Logo .

Passo 5

Aplicando Chebyshev:
Prl(|hatsigma^2-sigma^2|>varepsilonr) <=Var(hatsigma^2)varepsilon^2 ;xrightarrow[ntoinfty];0
Isso mostra exatamente que converge em probabilidade para .

Resposta

Sim! O estimador de máxima verossimilhança

é consistente para .

Exercícios relacionados