Vimos que o estimador de máxima verossimilhança de , de uma distribuição normal, é dado por:
é um estimador consistente para ?
Passo 1
Beleza, o enunciado pergunta se o estimador de máxima verossimilhança
é consistente para o verdadeiro de uma Normal.
Conteúdos que vamos usar:
Definição de consistência (convergência em probabilidade).
Lei fraca dos grandes números ou Desigualdade de Chebyshev.
Propriedades da distribuição quando os são Normais.
Passo 2
Lembra da definição: um estimador é consistente para se, para todo ,
Uma estratégia prática é mostrar que
,
.
Aí a Desigualdade de Chebyshev diz que a probabilidade de desviar de some.
Passo 3
Vamos calcular a esperança de El[hatsigma^2r] =El[1nsumi=1^n (Xi-bar X)^2r] =1n,E[sigma^2chi^2,n-1] =1n,sigma^2,(n-1) =n-1n,sigma^2 . Sabemos que, para amostra Normal, E[hatsigma^2];longrightarrow;sigma^2 .
Então
Quando , , logo
Passo 4
Agora a variância. Usando que Varl[hatsigma^2r] =Varl[sigma^2n,chi^2,n-1r] =sigma^4n^2,2(n-1) =2sigma^4,(n-1)n^2 tem variância ,