Obtenha uma estimativa da área sob o gráfico da função f(x)=100x, x in [10,50] dividindo o intervalo em 4 subintervalos de comprimento 10, então aperfeiçoe sua estimativa usando 8 subintervalos de comprimento 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estimar a área sob o gráfico da função f(x) = 100x no intervalo de x = 10 até x = 50 . Para isso, vamos usar a ideia de somar áreas de retângulos sobre subintervalos desse intervalo maior.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo [10, 50] em 4 subintervalos iguais. Como o total é 40 unidades (de 10 a 50), cada subintervalo vai ter um comprimento de De<a x = 404 = 10.

Passo 3

Agora, para cada subintervalo, escolhemos um ponto para calcular a altura do retângulo. Vamos usar o extremo direito de cada subintervalo para isso. Assim, os pontos serão 20, 30, 40 e 50.

Passo 4

Vamos calcular a área de cada retângulo multiplicando a altura f(x) pelo comprimento De<a x:
Área total approx De<a x times (f(20) + f(30) + f(40) + f(50)) Á
Calculando cada f(x) :
f(20) = 10020 = 5, f(30) = 10030 approx 33, f(40) = 10040 = 2.5, f(50) = 10050 = 2
Somando:
5 + 33 + 2.5 + 2 = 128
Multiplicando pelo De<a x = 10:
128 times 10 = 1288

Passo 5

Agora, vamos melhorar nossa estimativa dividindo o intervalo [10, 50] em 8 subintervalos de comprimento De<a x = 5. Os pontos direitos serão 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 e 50.

Passo 6

Calculamos novamente a área de cada retângulo:
Área total approx 5 times (f(15) + f(20) + f(25) + f(30) + f(35) + f(40) + f(45) + f(50)) Á
Calculando cada f(x) :
f(15) = 10015 approx 66, f(20) = 5, f(25) = 4, f(30) approx 33, f(35) approx 2.857, f(40) = 2.5, f(45) approx 22, f(50) = 2
Somando:
66 + 5 + 4 + 33 + 2.857 + 2.5 + 22 + 2 approx 28.523
Multiplicando pelo De<a x = 5:
28.523 times 5 approx 142.615

Resposta

A estimativa da área sob o gráfico de f(x) = 100x no intervalo [10, 50] é aproximadamente 128.89 usando 4 subintervalos e melhora para aproximadamente 142.62 usando 8 subintervalos.

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