Use a translação sobre o eixo s para resolver o problema de valor inicial dado abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver problemas de valor inicial como esse. O problema que temos é:
Vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e também como lidar com funções exponenciais e cossenos na transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a transformada de Laplace da derivada segunda
é:
E a transformada da primeira derivada
é:
Sabendo que
e
, as expressões simplificam para:
Passo 3
Agora, aplicamos a transformada na equação toda:
Substituindo pelas transformadas das derivadas que calculamos:
Passo 4
Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Agora precisamos encontrar a transformada de
. Sabemos que:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Para encontrar
, vamos isolar:
Passo 6
Agora, precisamos simplificar
para facilitar a obtenção da transformada inversa. Vamos fatorar o denominador:
Primeiro, observe que
. Então:
Passo 7
Agora, vamos decompor em frações parciais. Queremos expressar:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 8
Expandindo e agrupando termos:
Agora, agrupamos os coeficientes de
,
e os termos constantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da equação 3:
Da equação 1:
Da equação 2:
Passo 10
Substituindo os valores de
,
e
na decomposição:
Simplificando a segunda fração:
Passo 11
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
Passo 12
Somando todos os termos, a solução
é:
Podemos fatorar o
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: