Use a translação sobre o eixo s para resolver o problema de valor inicial dado abaixo:
y^prime prime-y^prime=e^t cos (t), y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver problemas de valor inicial como esse. O problema que temos é:
y'' - y' = e^t cos(t), y(0) = 0, y'(0) = 0
Vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e também como lidar com funções exponenciais e cossenos na transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a transformada de Laplace da derivada segunda y'' é:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
E a transformada da primeira derivada y' é:
Ly' = s Y(s) - y(0)
Sabendo que y(0) = 0 e y'(0) = 0 , as expressões simplificam para:
Ly'' = s^2 Y(s)
Ly' = s Y(s)

Passo 3

Agora, aplicamos a transformada na equação toda:
Ly'' - Ly' = Le^t cos(t)
Substituindo pelas transformadas das derivadas que calculamos:
s^2 Y(s) - s Y(s) = Le^t cos(t)

Passo 4

Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
(s^2 - s) Y(s) = Le^t cos(t)
Agora precisamos encontrar a transformada de e^t cos(t) . Sabemos que:
Le^at cos(bt) = s - a(s - a)^2 + b^2
No nosso caso, a = 1 e b = 1 , então:
Le^t cos(t) = s - 1(s - 1)^2 + 1^2 = s - 1(s - 1)^2 + 1

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
(s^2 - s) Y(s) = s - 1(s - 1)^2 + 1
Para encontrar Y(s) , vamos isolar:
Y(s) = s - 1(s^2 - s)[(s - 1)^2 + 1]

Passo 6

Agora, precisamos simplificar Y(s) para facilitar a obtenção da transformada inversa. Vamos fatorar o denominador:
Primeiro, observe que s^2 - s = s(s - 1) . Então:
Y(s) = s - 1s(s - 1)[(s - 1)^2 + 1] = 1s[(s - 1)^2 + 1]

Passo 7

Agora, vamos decompor em frações parciais. Queremos expressar:
1s[(s - 1)^2 + 1] = As + B(s - 1) + C(s - 1)^2 + 1
Multiplicamos ambos os lados por s[(s - 1)^2 + 1] :
1 = A[(s - 1)^2 + 1] + [B(s - 1) + C]s

Passo 8

Expandindo e agrupando termos:
1 = A(s^2 - 2s + 1 + 1) + B s(s - 1) + C s
1 = A(s^2 - 2s + 2) + B(s^2 - s) + C s
Agora, agrupamos os coeficientes de s^2 , s e os termos constantes:
1 = (A + B)s^2 + (-2A - B + C)s + 2A
Isso nos dá o sistema de equações:
  1. A + B = 0 (coeficiente de s^2 )
  2. -2A - B + C = 0 (coeficiente de s )
  3. 2A = 1 (termo constante)

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Da equação 3:
2A = 1 Rightarrow A = 12
Da equação 1:
12 + B = 0 Rightarrow B = -12
Da equação 2:
-2 times 12 - (-12) + C = 0
-1 + 12 + C = 0 Rightarrow C = 12

Passo 10

Substituindo os valores de A , B e C na decomposição:
1s[(s - 1)^2 + 1] = 12s + -12(s - 1) + 12(s - 1)^2 + 1
= 12s + -12(s - 1) + 12(s - 1)^2 + 1
Simplificando a segunda fração:
= 12s - 12 cdot (s - 1)(s - 1)^2 + 1 + 12 cdot 1(s - 1)^2 + 1

Passo 11

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
  1. L^-112s = 12
  2. L^-1-12 cdot (s - 1)(s - 1)^2 + 1 = -12 e^t cos(t)
  3. L^-112 cdot 1(s - 1)^2 + 1 = 12 e^t sin(t)

Passo 12

Somando todos os termos, a solução y(t) é:
y(t) = 12 - 12 e^t cos(t) + 12 e^t sin(t)
Podemos fatorar o 12 :
y(t) = 12 (1 - e^t cos(t) + e^t sin(t))

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 12 (1 - e^t cos(t) + e^t sin(t))

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