1- a) Obtenha a expressão do aumento da temperatura de um gás devido à compressão adiabática causada por uma pressão sonora p. b) Qual a amplitude da flutuação de temperatura produzida por uma onda sonora de intensidade 10 W / m^2 no ar a uma temperatura de 20^circ C e uma atmosfera de pressão.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Na parte (a) queremos derivar a expressão do aumento de temperatura De<a T de um gás ideal num processo adiabático devido a uma pequena variação de pressão sonora p. Na parte (b) vamos usar essa expressão e a relação entre intensidade sonora e amplitude de pressão para calcular numericamente De<a T para uma onda de intensidade 10,W/m ^2 no ar a 20^circC e 1 atm.

Passo 2

Num processo adiabático para um gás ideal vale
p,rho^-gamma=constante,
e também p=rho R T, onde gamma é o coeficiente adiabático, R é a constante específica do gás, rho a densidade e T a temperatura. Tomando diferencial logarítmica da condição adiabática,
gamma,dTT+(1-gamma),dpp=0,
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dTT=gamma-1gamma,dpp

Passo 3

Para pequenas flutuações em torno de T0 e p0 (pressão atmosférica) temos
De<a TT0 =gamma-1gamma,pp0 ;Longrightarrow; De<a T =gamma-1gamma,T0p0;p
Essa é a expressão buscada na parte (a).

Passo 4

Para uma onda sonora plana em um meio homogêneo a intensidade média I se relaciona com a amplitude de pressão p por
I=p^22,rho0,c,
onde rho0 é a densidade do ar em repouso e c é a velocidade do som. Logo
p=raiz2,rho0,c,I

Passo 5

No ar a T0=20^circC (isto é 293 K) e p0=1 atm approx1,013times10^5 Pa vale
c=raizgamma R T0 =raiz1,4cdot287cdot293approx343 m/s, rho0=p0R T0 approx1,013times10^5287cdot293approx1,20 kg/m^3
Para I=10 W/m ^2:
p=raiz2cdot1,20cdot343cdot10approx90,9 Pa
Aplicando na fórmula de De<a T:
De<a T =1,4-11,4,2931,013times10^5;90,9 approx0,075 K

Resposta

a) De<a T =gamma-1gamma,T0p0,p
b) De<a Tapprox0,075 K

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