Obtenha a expressão para o cálculo da energia necessária para remover o elétron do átomo de hidrogênio quando ele se encontra:
no estado estacionário de número quântico n.

Passo 1

O enunciado pede a energia necessária para “tirar” o elétron de um átomo de hidrogênio que está no nível quântico n. Esse é o problema de ionização no modelo de Bohr. Vamos precisar lembrar como se obtém a energia de ligação En nesse modelo e depois calcular o trabalho para levar o elétron de rn até o infinito.

Passo 2

No modelo de Bohr aplicamos duas condições ao elétron em órbita circular de raio rn:
  1. Equilíbrio entre força de Coulomb e força centrípeta:
14pivarepsilon0,e^2rn^2 ;=;m vn^2rn
  1. Quantização do momento angular:
m vn,rn = n,h2pi
Com essas duas equações eliminamos vn e achamos o raio da órbita:
rn = varepsilon0,h^2pi,m,e^2;n^2

Passo 3

A energia total do elétron no nível n é soma da energia cinética K com a potencial U:
En = K + U = 12,m vn^2 ;-;14pivarepsilon0,e^2rn
Usando a relação de equilíbrio (que dá K = +tfrac12,(1/4pivarepsilon0),e^2/rn) resulta
En = -,18pivarepsilon0,e^2rn
Substituindo rn leva a
En = -,m,e^48,varepsilon0^2,h^2,1n^2

Passo 4

Para ionizar o átomo, precisamos levar o elétron de energia En até energia zero (quando está livre, a energia de referência é 0). Assim o trabalho mínimo ou energia de ionização é
De<a E = Einfty - En = 0 - En = +,m,e^48,varepsilon0^2,h^2,1n^2
Em unidades de elétron-volt isso fica
De<a E = 13,6;eVn^2

Resposta

boxedDe<a Eion(n) ;=;m,e^48,varepsilon0^2,h^2,1n^2 ou De<a Eion(n) = 13,6;eVn^2

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