Obtenha uma expressão para a energia livre de Helmholtz por partícula, f(T, v), para um sistema puro que obedece as equações de estado u=3 p v e p=A T^4.

Passo 1

O enunciado pede a energia livre de Helmholtz por partícula f(T,v) para um sistema que satisfaz u=3pv e p=A T^4. Vamos usar termodinâmica de funções de estado, em particular o potencial livre de Helmholtz.

Passo 2

Sabendo que o diferencial do potencial livre de Helmholtz por partícula satisfaz df = -p,dv - s,dT, obtemos as relações de Maxwell por identificação: partial f/partial v|T = -p(T,v) e partial f/partial T|v = -s(T,v).

Passo 3

Integramos em relação a v, mantendo T fixo:
partial fpartial v|T = -p = -A T^4 implies f(T,v) = -A T^4,v + g(T),, onde g(T) é função arbitrária de T.

Passo 4

Para determinar g(T), usamos duas expressões para a entropia por partícula. De um lado, s = -partial f/partial T. Do outro, pela definição F=U-TS, temos s=(u-f)/T. Calculamos cada uma:
s = -partial fpartial T = -l(-4A T^3 v + g'(T)r) = 4A T^3 v - g'(T) e
s = u - fT = 3A T^4 v -l(-A T^4 v + g(T)r)T = 4A T^3 v - g(T)T Igualando as duas: 4A T^3 v - g'(T) = 4A T^3 v - g(T)/T, vem g'(T)=g(T)/T.

Passo 5

Resolvendo a equação diferencial g'/g = 1/T, obtemos g(T)=C T, com C constante de integração. Logo a energia livre de Helmholtz por partícula é:
[f(T,v) = -A T^4 v + C,T,.
]

Resposta

f(T,v) = -A,T^4,v + C,T, onde C é constante de integração determinada pelas condições de referência de entropia.

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