Obtenha uma expressão para a energia livre de Helmholtz por partícula, , para um sistema puro que obedece as equações de estado e .
Passo 1
O enunciado pede a energia livre de Helmholtz por partícula f(T,v) para um sistema que satisfaz e . Vamos usar termodinâmica de funções de estado, em particular o potencial livre de Helmholtz.
Passo 2
Sabendo que o diferencial do potencial livre de Helmholtz por partícula satisfaz , obtemos as relações de Maxwell por identificação: e .
Passo 3
Integramos em relação a , mantendo fixo:
onde g(T) é função arbitrária de T.
Passo 4
Para determinar g(T), usamos duas expressões para a entropia por partícula. De um lado, s = -partial f/partial T. Do outro, pela definição F=U-TS, temos s=(u-f)/T. Calculamos cada uma:
s = -partial fpartial T = -l(-4A T^3 v + g'(T)r) = 4A T^3 v - g'(T) e
s = u - fT = 3A T^4 v -l(-A T^4 v + g(T)r)T = 4A T^3 v - g(T)T Igualando as duas: 4A T^3 v - g'(T) = 4A T^3 v - g(T)/T, vem g'(T)=g(T)/T.
Passo 5
Resolvendo a equação diferencial g'/g = 1/T, obtemos g(T)=C T, com C constante de integração. Logo a energia livre de Helmholtz por partícula é:
[f(T,v) = -A T^4 v + C,T,.
]
Resposta
f(T,v) = -A,T^4,v + C,T, onde C é constante de integração determinada pelas condições de referência de entropia.