Observe que o potencial vetor A está relacionado com o campo magnético B da mesma forma que B está relacionado com a densidade de corrente J. Isto é nabla times A=B, enquanto que nabla times B=muo J. Qual é a declaração a respeito de A que corresponde ao enunciado de que a integral de linha de B, sobre qualquer percurso fechado, é igual a muo vezes a corrente enlaçaada pela curva? Calcule o potencial vetor que corresponde a um campo uniforme e paralelo ao eixo z: Bx=0, By=0 e Bz=Bo.

Passo 1

O enunciado considera o potencial vetorial vec A tal que nabla times vec A = vec B, de modo análogo a nabla times vec B = mu0 vec J. Pede-se: (i) a declaração sobre vec A que corresponde à lei de Ampère para vec B e (ii) o cálculo de vec A quando vec B = B0,hat z.

Passo 2

Para o campo magnético vec B, a lei de Ampère (forma integral) afirma que a integral de linha de vec B ao longo de qualquer curva fechada C é igual a mu0 vezes a corrente envolvida pela curva:
ointC vec B cdot dvec l = mu0,Irm enc

Passo 3

Como nabla times vec A = vec B, podemos aplicar o Teorema de Stokes à integral de linha de vec A numa curva fechada C limitada por uma superfície S:
ointC vec A cdot dvec l = integral duplaS (nabla times vec A) cdot dvec S = integral duplaS vec B cdot dvec S
Portanto, a declaração análoga para vec A é:
“A integral de linha de vec A sobre qualquer percurso fechado é igual ao fluxo magnético de vec B através da superfície delimitada por esse percurso.”

Passo 4

Para encontrar vec A que gere vec B = B0,hat z, escolhemos o gauge simétrico dado por
vec A = tfrac12,vec B times vec r
Substituindo vec B = B0,hat z e vec r = x,hat x + y,hat y + z,hat z, obtemos
vec A = B02(-y,hat x + x,hat y)

Resposta

vec A = B02l(-y,hat x + x,hat yr).

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