Uma partícula está fazendo movimento Browniano (contante de difusão
) em três dimensões. No instante
a partícula está localizada na origem. Qual é a probabilidade de achar esta partícula na posição
no tempo
? (Dica: resolva a equação de difusão.)
Passo 1
A partícula faz um movimento Browniano em 3D com coeficiente de difusão D, parte da origem em t = 0 e queremos a densidade de probabilidade p(x,y,z,t). Vamos precisar resolver a equação de difusão com condição inicial Δ em 0.
Passo 2
A equação de difusão (PDE) em 3D é dada por
Ela descreve como a densidade p evolui no tempo devido à difusão.
Passo 3
Para transformar a PDE em uma equação mais simples, aplicamos a transformada de Fourier espacial:
Isso leva a uma ODE em t:
onde
.
Passo 4
A ODE tem solução direta por separação de variáveis. Com condição inicial p(\mathbf{r},0)=δ(\mathbf{r}), temos
e
Passo 5
Voltando ao espaço real pela transformada inversa, usamos a integral Gaussiana em 3D: