Uma partícula está fazendo movimento Browniano (contante de difusão D ) em três dimensões. No instante t=0 a partícula está localizada na origem. Qual é a probabilidade de achar esta partícula na posição (x, y, z) no tempo t ? (Dica: resolva a equação de difusão.)

Passo 1

A partícula faz um movimento Browniano em 3D com coeficiente de difusão D, parte da origem em t = 0 e queremos a densidade de probabilidade p(x,y,z,t). Vamos precisar resolver a equação de difusão com condição inicial Δ em 0.

Passo 2

A equação de difusão (PDE) em 3D é dada por
partial ppartial t = D nabla^2 p = D (partial^2 ppartial x^2 + partial^2 ppartial y^2 + partial^2 ppartial z^2)
Ela descreve como a densidade p evolui no tempo devido à difusão.

Passo 3

Para transformar a PDE em uma equação mais simples, aplicamos a transformada de Fourier espacial:
hat p(k,t) = integralR^3 p(r,t),e^-ikcdotr,d^3r
Isso leva a uma ODE em t:
partial hat ppartial t = -D k^2 ,hat p,
onde k=|k|.

Passo 4

A ODE tem solução direta por separação de variáveis. Com condição inicial p(\mathbf{r},0)=δ(\mathbf{r}), temos hat p(k,0)=1 e
hat p(k,t) = e^-D k^2 t

Passo 5

Voltando ao espaço real pela transformada inversa, usamos a integral Gaussiana em 3D:
p(r,t) = integral d^3k(2pi)^3,e^ikcdotr,e^-D k^2 t = 1(4pi D t)^3/2exp!l(-x^2+y^2+z^24Dtr)

Resposta

p(x,y,z,t)=1(4pi D t)^3/2exp!l(-x^2+y^2+z^24Dtr).

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