1. Obtenha a expressão de tan (2 alpha) em termos de tan alpha
  2. Mostre que tan 120^circ=-raiz3 sabendo que tan 60^circ=raiz3

Passo 1

O enunciado pede dois itens:
– Obter a expressão de tan(2alpha) em termos de tanalpha.
– Mostrar que tan 120^circ=-raiz3, sabendo que tan60^circ=raiz3.
O conteúdo principal é a fórmula da tangente da soma de ângulos, que vem das fórmulas de adição de seno e cosseno.

Passo 2

Para derivar a fórmula de tan(alpha+beta) usamos
sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta,
cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta,
e tantheta=dfracsinthetacostheta. Portanto
tan(alpha+beta) =sin(alpha+beta)cos(alpha+beta) =sinalphacosbeta+cosalphasinbeta cosalphacosbeta-sinalphasinbeta =tanalpha+tanbeta1-tanalpha,tanbeta

Passo 3

No caso beta=alpha temos tan(2alpha)=tan(alpha+alpha). Substituindo na fórmula:
tan(2alpha) =tanalpha+tanalpha1-tanalphacdottanalpha =2,tanalpha1-tan^2alpha

Passo 4

Para tan120^circ note que 120^circ=2cdot60^circ. Usando a fórmula de tan(2alpha) com alpha=60^circ e tan60^circ=raiz3, obtemos
tan120^circ =tanl(2cdot60^circr) =2,tan60^circ1-tan^2 60^circ =2raiz31-(raiz3)^2 =2raiz31-3 =2raiz3-2 =-raiz3

Resposta

  1. tan(2alpha)=2tanalpha1-tan^2alpha
  2. tan120^circ=-raiz3

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