As transições eletrônicas entre níveis quânticos é um problema que depende do tempo, da distribuição de carga e da emissão ou absorção de um fóton. Este problema trata sobre esse assunto.
Considere um elétron confinado na direção x (átomo 1D), e que pode ocupar o nivel de energia n=1[E1, psi1(x)] ou o nivel de energia n=2[E2, psi2(x)].
(a) Calcule a distribuição de carga para o átomo não excitado. Explique porquê o elétron não emite um fotón.
(b) Calcule a distribuição de carga para o átomo excitado. Analizando o resultado explique porquê o elétron emite radiação (emite um fóton). Calcule a frequência do fóton emitido.

Passo 1

O enunciado descreve um elétron confinado numa “caixa” unidimensional de comprimento L, cujos dois níveis de energia são
En = n^2pi^2hbar^22mL^2, psin(x) = raiz2Lsin!l(tfracnpi xLr),
com n=1 ou 2. Precisamos achar a distribuição de carga rho(x,t) quando o átomo está no estado fundamental ( n=1) e quando “excitamos” para n=2, explicar por que emite (ou não) fóton e calcular a frequência do fóton emitido.

Passo 2

Estado não excitado ( n=1): a função de onda completa é
Psi1(x,t)=psi1(x),e^-iE1 t/hbar
A densidade de probabilidade é lvertPsi1rvert^2=lvertpsi1(x)rvert^2, logo a distribuição de carga (carga do elétron -e) é
rho1(x) = -e,lvertpsi1(x)rvert^2 = -e,2Lsin^2!l(tfracpi xLr)

Passo 3

Nesse estado rho1(x) não depende de t. Como o momento de dipolo
p(t)=integral0^L x,rho1(x),dx
fica constante, não há oscilação de carga nem emissão de radiação. Por isso o elétron no estado estacionário fundamental não emite fóton.

Passo 4

Estado excitado em transição: durante a emissão o elétron passa por uma superposição
Psi(x,t) =1raiz2l[psi1(x),e^-iE1t/hbar+psi2(x),e^-iE2t/hbarr]
A densidade de carga torna– se
rho(x,t) =-e,lvertPsi(x,t)rvert^2 =-e12l[lvertpsi1rvert^2+lvertpsi2rvert^2 +2,psi1(x)psi2(x)cos!l(tfracE2-E1hbartr)r]

Passo 5

O termo de interferência
psi1psi2cosl((E2-E1)t/hbarr) faz com que o dipolo
p(t)=integral0^L x,rho(x,t),dx oscile em omega=(E2-E1)/hbar. Essa oscilação de dipolo gera a emissão de radiação eletromagnética — o fóton de frequência
f =omega2pi =E2-E1h

Resposta

a) rho1(x)=-e2Lsin^2!l(tfracpi xLr). Não há emissão porque rho1 é estática e o dipolo não oscila.
b) rho(x,t)=-e12l[lvertpsi1rvert^2+lvertpsi2rvert^2+2psi1psi2cosl(tfracE2-E1hbartr)r]. O termo oscilante gera dipolo variável e, portanto, radiação de frequência
f=E2-E1h

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