Dois móveis A e B descrevem trajetórias circulares no mesmo sentido (anti-horário) ao longo de uma circunferência de raio
. O móvel A parte do ponto P e realiza um movimento circular uniforme (MCU) com velocidade angular constante
. O móvel B parte do ponto Q , que está a um ângulo de
ras à frente de P na trajetória (medido no sentido do movimento), e realiza um movimento circular uniformemente variado (MCUV) com aceleração angular constante
e velocidade angular inicial
. Sabendo que ambos os móveis percorrem a trajetória no mesmo sentido e partem simultaneamente, determine:
(a) O instante t em que os dois móveis se encontram pela primeira vez.
(b) As velocidades angulares de ambos os móveis nesse instante.
(a) O instante t em que os dois móveis se encontram pela primeira vez.
(b) As velocidades angulares de ambos os móveis nesse instante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois móveis, A e B, andando em uma circunferência de raio R = 10 metros, no mesmo sentido (anti-horário). O móvel A começa no ponto P e tem uma velocidade angular constante de ω_A = π/6 rad/s. Já o móvel B começa no ponto Q, que está π/2 radianos à frente de P, e tem um movimento circular uniformemente variado com aceleração angular α = -π/36 rad/s² e velocidade angular inicial ω₀ = π/3 rad/s. Precisamos descobrir:
(a) Quando os dois móveis vão se encontrar pela primeira vez.
(b) As velocidades angulares dos dois móveis nesse instante.
(b) As velocidades angulares dos dois móveis nesse instante.
Vamos usar conceitos de movimento circular uniforme (MCU) e movimento circular uniformemente variado (MCUV) para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como cada móvel se move.
- Móvel A: Movimento Circular Uniforme (MCU). Isso significa que sua velocidade angular ω_A é constante ao longo do tempo. A posição angular de A em qualquer instante t é dada por:
- Móvel B: Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV). Aqui, a velocidade angular de B muda com o tempo devido à aceleração angular α. A posição angular de B em qualquer instante t é dada por:
Onde:
-
rad (posição inicial à frente de A) -
rad/s -
rad/s²
Passo 3
Queremos encontrar o instante t em que
. Então, igualamos as duas expressões:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, trazemos todos os termos para um lado:
Simplificando os coeficientes:
Para facilitar, podemos multiplicar toda a equação por
para eliminar os coeficientes:
Passo 5
Agora temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
Resposta
(a) Os móveis A e B se encontram pela primeira vez após aproximadamente 14,49 segundos.
(b) Nesse instante:
- A velocidade angular do móvel A é constante e igual a
rad/s. - A velocidade angular do móvel B é
rad/s.