Dois móveis A e B descrevem trajetórias circulares no mesmo sentido (anti-horário) ao longo de uma circunferência de raio R=10 m. O móvel A parte do ponto P e realiza um movimento circular uniforme (MCU) com velocidade angular constante omega A=pi / 6 rad / s. O móvel B parte do ponto Q , que está a um ângulo de theta 0=pi / 2 ras à frente de P na trajetória (medido no sentido do movimento), e realiza um movimento circular uniformemente variado (MCUV) com aceleração angular constante alpha=-pi / 36 rad / s 2 e velocidade angular inicial omega 0=pi / 3 rad / s. Sabendo que ambos os móveis percorrem a trajetória no mesmo sentido e partem simultaneamente, determine:
(a) O instante t em que os dois móveis se encontram pela primeira vez.
(b) As velocidades angulares de ambos os móveis nesse instante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois móveis, A e B, andando em uma circunferência de raio R = 10 metros, no mesmo sentido (anti-horário). O móvel A começa no ponto P e tem uma velocidade angular constante de ω_A = π/6 rad/s. Já o móvel B começa no ponto Q, que está π/2 radianos à frente de P, e tem um movimento circular uniformemente variado com aceleração angular α = -π/36 rad/s² e velocidade angular inicial ω₀ = π/3 rad/s. Precisamos descobrir:
(a) Quando os dois móveis vão se encontrar pela primeira vez.
(b) As velocidades angulares dos dois móveis nesse instante.
Vamos usar conceitos de movimento circular uniforme (MCU) e movimento circular uniformemente variado (MCUV) para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como cada móvel se move.
  • Móvel A: Movimento Circular Uniforme (MCU). Isso significa que sua velocidade angular ω_A é constante ao longo do tempo. A posição angular de A em qualquer instante t é dada por:
thetaA(t) = omegaA cdot t
  • Móvel B: Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV). Aqui, a velocidade angular de B muda com o tempo devido à aceleração angular α. A posição angular de B em qualquer instante t é dada por:
thetaB(t) = theta0 + omega0 cdot t + 12 cdot alpha cdot t^2
Onde:
  • theta0 = pi2 rad (posição inicial à frente de A)
  • omega0 = pi3 rad/s
  • alpha = -pi36 rad/s²

Passo 3

Queremos encontrar o instante t em que thetaA(t) = thetaB(t). Então, igualamos as duas expressões:
omegaA cdot t = theta0 + omega0 cdot t + 12 cdot alpha cdot t^2
Substituindo os valores que temos:
pi6 cdot t = pi2 + pi3 cdot t + 12 cdot (-pi36) cdot t^2

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, trazemos todos os termos para um lado:
12 cdot (-pi36) cdot t^2 + (pi3 - pi6) cdot t + pi2 = 0
Simplificando os coeficientes:
-pi72 cdot t^2 + pi6 cdot t + pi2 = 0
Para facilitar, podemos multiplicar toda a equação por -72/pi para eliminar os coeficientes:
t^2 - 12t - 36 = 0

Passo 5

Agora temos uma equação quadrática:
t^2 - 12t - 36 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
t = 12 pm raiz(-12)^2 - 4 cdot 1 cdot (-36)2 cdot 1
Calculando o discriminante:
De<a = 144 + 144 = 288
Então:
t = 12 pm raiz2882 = 12 pm 12raiz22 = 6 pm 6raiz2
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
t = 6 + 6raiz2 approx 6 + 8,485 approx 14,485 segundos

Resposta

(a) Os móveis A e B se encontram pela primeira vez após aproximadamente 14,49 segundos.
(b) Nesse instante:
  • A velocidade angular do móvel A é constante e igual a pi6 rad/s.
  • A velocidade angular do móvel B é omegaB(t) = pi3 + alpha cdot t = pi3 - pi36 cdot 14,49 approx pi3 - 0,402 approx 0,875 rad/s.

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