Supondo que a expectativa de vida de indivíduos de uma população, em anos, siga o modelo exponencial com média 60:
Se um individuo escolhido ao acaso já viveu 60 anos, qual a probabilidade de que ele viva mais 10 anos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou pegá-las do texto do problema):
  • A expectativa de vida de um indivíduo, em anos, segue um modelo exponencial.
  • A média da distribuição é \,60\, anos.
    A pergunta é:
  • Se um indivíduo escolhido ao acaso já viveu \,60\, anos, qual a probabilidade de que ele viva mais \,10\, anos?

Passo 2

Vamos definir variáveis e fórmulas básicas (para não deixar nenhuma dúvida):
  • Seja X a variável aleatória que representa a vida do indivíduo, em anos.
  • No modelo exponencial com parâmetro de taxa \lambda, a função densidade é
f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}\quad\text{para}\quad x\ge 0,
onde \lambda>0 é a taxa (número de “decisões” por ano, por exemplo).
  • A função sobrevivência (probabilidade de viver mais que x anos) é
P(X>x)=e^{-\lambda x}.
  • A média (expectation) de uma exponencial vale
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}.
Aqui nos deram \mathbb{E}[X]=60. Então obtemos \lambda isolando:
\lambda=\frac{1}{\mathbb{E}[X]}=\frac{1}{60}.

Passo 3

O que o enunciado pede em termos de probabilidade é a probabilidade condicional
P\bigl(X>60+10 \mid X>60\bigr)=P(X>70\mid X>60).
Para qualquer variável X, a probabilidade condicional pode ser escrita como
P(X>70\mid X>60)=\frac{P(X>70\\ \text{e}\\ X>60)}{P(X>60)}=\frac{P(X>70)}{P(X>60)}.
No caso da exponencial, usamos a função sobrevivência e obtemos
\frac{P(X>70)}{P(X>60)}=\frac{e^{-\lambda\cdot 70}}{e^{-\lambda\cdot 60}}=e^{-\lambda\cdot(70-60)}=e^{-\lambda\cdot 10}.
Essa simplificação é a expressão matemática da propriedade de falta de memória (memoryless): para a distribuição exponencial vale
P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t).
Intuitivamente: para esse modelo, já ter vivido s anos não altera a distribuição do tempo adicional de vida.

Passo 4

Agora substituímos \lambda=\dfrac{1}{60} na expressão obtida:
P(X>70\mid X>60)=e^{-\lambda\cdot 10}=e^{-\tfrac{1}{60}\cdot 10}=e^{-\tfrac{10}{60}}=e^{-\tfrac{1}{6}}.
Podemos dar uma aproximação numérica conveniente para usar na prova:
e^{-\tfrac{1}{6}}\approx 0,84648.

Passo 5

Resumo prático para a prova (dica amiga): ao ver “exponencial” e “já viveu s anos, quer a probabilidade de viver mais t anos”, use direto a propriedade de falta de memória e calcule e^{-\lambda t}. Aqui t=10 e \lambda=1/60.

Resposta

\mathrm{e}^{-1/6}\approx 0,84648

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