Supondo que a expectativa de vida de indivíduos de uma população, em anos, siga o modelo exponencial com média 60:
Se um individuo escolhido ao acaso já viveu 60 anos, qual a probabilidade de que ele viva mais 10 anos?
Se um individuo escolhido ao acaso já viveu 60 anos, qual a probabilidade de que ele viva mais 10 anos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou pegá-las do texto do problema):
- A expectativa de vida de um indivíduo, em anos, segue um modelo exponencial.
- A média da distribuição é
anos.
A pergunta é: - Se um indivíduo escolhido ao acaso já viveu
anos, qual a probabilidade de que ele viva mais anos?
Passo 2
Vamos definir variáveis e fórmulas básicas (para não deixar nenhuma dúvida):
- Seja
a variável aleatória que representa a vida do indivíduo, em anos. - No modelo exponencial com parâmetro de taxa
, a função densidade é
onde
é a taxa (número de “decisões” por ano, por exemplo).
- A função sobrevivência (probabilidade de viver mais que
anos) é
- A média (expectation) de uma exponencial vale
Aqui nos deram
. Então obtemos
isolando:
Passo 3
O que o enunciado pede em termos de probabilidade é a probabilidade condicional
Para qualquer variável
, a probabilidade condicional pode ser escrita como
No caso da exponencial, usamos a função sobrevivência e obtemos
Essa simplificação é a expressão matemática da propriedade de falta de memória (memoryless): para a distribuição exponencial vale
Intuitivamente: para esse modelo, já ter vivido
anos não altera a distribuição do tempo adicional de vida.
Passo 4
Agora substituímos
na expressão obtida:
Podemos dar uma aproximação numérica conveniente para usar na prova:
Passo 5
Resumo prático para a prova (dica amiga): ao ver “exponencial” e “já viveu
anos, quer a probabilidade de viver mais
anos”, use direto a propriedade de falta de memória e calcule
. Aqui
e
.