Obtenha F(s) ou f(t), conforme indicado.
I^{-1}\left\{\frac{1}{(x-1)^{4}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa (inversa de Laplace) de \dfrac{1}{(x-1)^{4}}. Ou seja, queremos encontrar a função f(t) tal que a transformada de Laplace de f(t) seja \dfrac{1}{(x-1)^{4}}. Informação dada:
  • A função no domínio de Laplace é \dfrac{1}{(x-1)^{4}}.
  • A variável do domínio de Laplace no enunciado está escrita como x; aqui vou tratar essa variável como a variável usual de Laplace (ou seja, x desempenha o papel de s).
  • Queremos f(t), presumindo a causalidade usual (função definida para t\ge0).

Passo 2

Lembrete importante sobre a transformada de Laplace: a definição é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt.
Quando soubermos uma transformada conhecida, podemos usar a tabela de pares transformada/inversa. Vou usar a propriedade básica que relaciona potências de t multiplicadas por exponencial com potências na variável s.

Passo 3

Vamos obter um par padrão útil. Considere a integral
\mathcal{L}\{t^{n}e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{n} e^{a t}\,dt=\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-(s-a)t}\,dt.
Faço a mudança de variável u=(s-a)t. Então t=\dfrac{u}{s-a} e dt=\dfrac{du}{s-a}. Substituindo:
\mathcal{L}\{t^{n}e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} \left(\frac{u}{s-a}\right)^{n} e^{-u}\frac{du}{s-a} =\frac{1}{(s-a)^{n+1}}\int_{0}^{\infty} u^{n}e^{-u}\,du.
A integral \int_{0}^{\infty} u^{n}e^{-u}\,du é a função Gamma avaliada em n+1, ou seja \Gamma(n+1). Para n inteiro não-negativo vale \Gamma(n+1)=n!. Portanto
\mathcal{L}\{t^{n}e^{a t}\}(s)=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}},
válido para \operatorname{Re}(s)>a.

Passo 4

Agora compare com a função dada \dfrac{1}{(x-1)^{4}}. Identificamos s=x, a=1 e precisamos de um numerador n! tal que n+1=4. Logo n=3 e n!=3!=6. Assim temos o par conhecido
\mathcal{L}\{t^{3}e^{1\cdot t}\}(s)=\frac{6}{(s-1)^{4}}.

Passo 5

A função pedida é a inversa dessa: como
\frac{1}{(s-1)^{4}}=\frac{1}{6}\cdot\frac{6}{(s-1)^{4}},
seguimos que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-1)^{4}}\right\}(t)=\frac{1}{6}\,t^{3}e^{t},
válido para t\ge0 (e com região de convergência \operatorname{Re}(s)>1 no lado de s).

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{1}{6}\,t^{3}e^{t}

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