Obtenha
ou
, conforme indicado.
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa (inversa de Laplace) de
. Ou seja, queremos encontrar a função
tal que a transformada de Laplace de
seja
. Informação dada:
- A função no domínio de Laplace é
. - A variável do domínio de Laplace no enunciado está escrita como
; aqui vou tratar essa variável como a variável usual de Laplace (ou seja, desempenha o papel de ). - Queremos
, presumindo a causalidade usual (função definida para ).
Passo 2
Lembrete importante sobre a transformada de Laplace: a definição é
Quando soubermos uma transformada conhecida, podemos usar a tabela de pares transformada/inversa. Vou usar a propriedade básica que relaciona potências de
multiplicadas por exponencial com potências na variável
.
Passo 3
Vamos obter um par padrão útil. Considere a integral
Faço a mudança de variável
. Então
e
. Substituindo:
A integral
é a função Gamma avaliada em
, ou seja
. Para
inteiro não-negativo vale
. Portanto
válido para
.
Passo 4
Agora compare com a função dada
. Identificamos
,
e precisamos de um numerador
tal que
. Logo
e
. Assim temos o par conhecido
Passo 5
A função pedida é a inversa dessa: como
seguimos que
válido para
(e com região de convergência
no lado de
).