Obtenha F(s) ou f(t), conforme indicado.
\&\#x2131;^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}-6 s+10}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}-6s+10}\right\}.
Informações dadas (explicitadas): o sinal \mathcal{L}^{-1} significa que queremos f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{1}{s^{2}-6s+10}. A variável no domínio de Laplace é s e a variável no tempo é t. Não há outras condições explícitas, então assumimos a função causal ( t\ge0).

Passo 2

Primeiro simplificamos o denominador completando o quadrado — passo muito comum e importante para identificar as formas padrão de transformada de Laplace.
Calculemos:
s^{2}-6s+10 = (s^{2}-6s+9)+1 = (s-3)^{2}+1.
Portanto a expressão a inverter fica
\frac{1}{s^{2}-6s+10}=\frac{1}{(s-3)^{2}+1}.

Passo 3

Agora lembramos (e explico) duas fórmulas padrão da transformada de Laplace que usaremos:
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Aqui a é a taxa de crescimento/exponencial (real) e b é a frequência angular da senoide. Essas fórmulas dizem que, no domínio s, denominadores do tipo (s-a)^{2}+b^{2} aparecem associadas a combinações de \cos(bt) e \sin(bt) multiplicadas por e^{at}. Para inverter, usamos essas correspondências.

Passo 4

Compare a nossa expressão com as fórmulas: temos
\frac{1}{(s-3)^{2}+1}.
Isto é exatamente da forma \dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}} com a=3 e b=1, porque então b=1 e o numerador b coincide com 1.
Portanto, aplicando a fórmula inversa:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-3)^{2}+1}\right\}=e^{3t}\sin(t),\qquad t\ge0.

Passo 5

Para fixar bem a ideia (dica de prova): se o numerador fosse (s-3) em vez de 1, a inversa seria e^{3t}\cos t. Em geral, para uma fração com denominador (s-3)^2+1 e numerador qualquer, decompõe-se o numerador em uma combinação A(s-3)+B e se inverte cada parte usando as duas fórmulas acima. No nosso caso a decomposição já corresponde a B=1 e A=0, o que deu apenas a parte seno.

Resposta

f(t)=e^{3t}\sin t

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