Obtenha
ou
, conforme indicado.
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
Informações dadas (explicitadas): o sinal
significa que queremos
tal que
. A variável no domínio de Laplace é
e a variável no tempo é
. Não há outras condições explícitas, então assumimos a função causal (
).
Passo 2
Primeiro simplificamos o denominador completando o quadrado — passo muito comum e importante para identificar as formas padrão de transformada de Laplace.
Calculemos:
Portanto a expressão a inverter fica
Passo 3
Agora lembramos (e explico) duas fórmulas padrão da transformada de Laplace que usaremos:
Aqui
é a taxa de crescimento/exponencial (real) e
é a frequência angular da senoide. Essas fórmulas dizem que, no domínio
, denominadores do tipo
aparecem associadas a combinações de
e
multiplicadas por
. Para inverter, usamos essas correspondências.
Passo 4
Compare a nossa expressão com as fórmulas: temos
Isto é exatamente da forma
com
e
, porque então
e o numerador
coincide com
.
Portanto, aplicando a fórmula inversa:
Passo 5
Para fixar bem a ideia (dica de prova): se o numerador fosse
em vez de
, a inversa seria
. Em geral, para uma fração com denominador
e numerador qualquer, decompõe-se o numerador em uma combinação
e se inverte cada parte usando as duas fórmulas acima. No nosso caso a decomposição já corresponde a
e
, o que deu apenas a parte seno.