Obtenha
ou
, conforme indicado.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o operador
a
e obter a função correspondente em
ou em
, conforme indicado. As informações dadas são:
- A expressão sobre a qual operar é
. - O fator
é uma constante (não depende de ). - A função trigonométrica é
.
O objetivo aqui é calcular.
Passo 2
Interpretação e estratégia: vamos entender
como a transformada de Laplace (notação comum em exercícios do tipo "Obtenha
ou
"). A transformada de Laplace de uma função
é definida por
com
complexo e convergência para
suficientemente grande. Uma propriedade fundamental que vamos usar é a linearidade: constantes multiplicativas saem da integral. Portanto, podemos escrever
Aqui deixei explícito que
é constante e pode ser fatorado.
Passo 3
Calcular
. Defina, de modo genérico,
Vamos calcular
para
e depois substituir
. Começamos com uma integração por partes.
Passo 4
Primeira integração por partes para
. Tome
e
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira vale
porque
quando
(assumindo
) e
. Portanto
onde definimos
Passo 5
Segunda integração por partes para
. Tome
,
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira é zero (
e
no infinito), logo
Passo 6
Substituindo
em
obtemos
Isolando
,
Portanto, para
,
válido para
.
Passo 7
Retornando ao fator constante: lembrando que
é constante, temos
Como observação rápida (útil para a prova): a transformada de
é sempre
e a de
é
; constantes multiplicativas saem da transformada.