Obtenha F(s) ou f(t), conforme indicado.
I\left(e^{-3} \cos 4 t\right)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o operador I a e^{-3}\cos 4t e obter a função correspondente em s ou em t, conforme indicado. As informações dadas são:
  • A expressão sobre a qual operar é e^{-3}\cos 4t.
  • O fator e^{-3} é uma constante (não depende de t).
  • A função trigonométrica é \cos 4t.
    O objetivo aqui é calcular I\big(e^{-3}\cos 4t\big).

Passo 2

Interpretação e estratégia: vamos entender I como a transformada de Laplace (notação comum em exercícios do tipo "Obtenha F(s) ou f(t)"). A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
com s complexo e convergência para \operatorname{Re}(s) suficientemente grande. Uma propriedade fundamental que vamos usar é a linearidade: constantes multiplicativas saem da integral. Portanto, podemos escrever
I\big(e^{-3}\cos 4t\big)=e^{-3}\,I\big(\cos 4t\big).
Aqui deixei explícito que e^{-3} é constante e pode ser fatorado.

Passo 3

Calcular I\big(\cos 4t\big). Defina, de modo genérico,
I_c(a)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt.
Vamos calcular I_c(a) para a>0 e depois substituir a=4. Começamos com uma integração por partes.

Passo 4

Primeira integração por partes para I_c(a). Tome u=\cos(at) e dv=e^{-st}\,dt. Então du=-a\sin(at)\,dt e v=-\dfrac{e^{-st}}{s}. Assim
I_c(a)=\left[-\frac{e^{-st}\cos(at)}{s}\right]_0^{\infty}-\frac{a}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(at)\,dt.
O termo de fronteira vale \displaystyle\left[-\frac{e^{-st}\cos(at)}{s}\right]_0^{\infty}=\frac{1}{s} porque e^{-st}\to0 quando t\to\infty (assumindo \operatorname{Re}(s)>0) e \cos(0)=1. Portanto
I_c(a)=\frac{1}{s}-\frac{a}{s}J(a),
onde definimos
J(a)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(at)\,dt.

Passo 5

Segunda integração por partes para J(a). Tome u=\sin(at), dv=e^{-st}\,dt. Então du=a\cos(at)\,dt e v=-\dfrac{e^{-st}}{s}. Assim
J(a)=\left[-\frac{e^{-st}\sin(at)}{s}\right]_0^{\infty}+\frac{a}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt.
O termo de fronteira é zero ( \sin 0=0 e e^{-st}\to0 no infinito), logo
J(a)=\frac{a}{s}I_c(a).

Passo 6

Substituindo J(a) em I_c(a)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{a}{s}J(a) obtemos
I_c(a)=\frac{1}{s}-\frac{a}{s}\cdot\frac{a}{s}I_c(a) \quad\Rightarrow\quad I_c(a)\left(1+\frac{a^{2}}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s}.
Isolando I_c(a),
I_c(a)=\frac{1}{s}\cdot\frac{s^{2}}{s^{2}+a^{2}}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Portanto, para a=4,
I\big(\cos 4t\big)=\frac{s}{s^{2}+16},
válido para \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 7

Retornando ao fator constante: lembrando que e^{-3} é constante, temos
I\big(e^{-3}\cos 4t\big)=e^{-3}\cdot I\big(\cos 4t\big)=e^{-3}\cdot\frac{s}{s^{2}+16}.
Como observação rápida (útil para a prova): a transformada de \cos(at) é sempre \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}} e a de \sin(at) é \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}; constantes multiplicativas saem da transformada.

Resposta

F(s)=e^{-3}\dfrac{s}{s^{2}+16}

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