Obtenha F(s) ou f(t), conforme indicado.
\mathscr{L}\left\{t\left(e^{t}+e^{2 t}\right)^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
\mathscr{L}\bigl\{t\,(e^t+e^{2t})^2\bigr\}(s).
Para resolver, vamos usar a linearidade da transformada e a fórmula básica
\mathscr{L}\{t\,e^{a t}\}(s)=\frac{1}{(s-a)^2},\quad \Re(s)>a.

Passo 2

Expandimos o quadrado para simplificar o integrando:
(e^t+e^{2t})^2 = e^{2t} + 2\,e^{3t} + e^{4t}.

Passo 3

Logo,
t\,(e^t+e^{2t})^2 = t\,e^{2t} + 2\,t\,e^{3t} + t\,e^{4t},
e pela linearidade
\mathscr{L}\{t(e^t+e^{2t})^2\} =\mathscr{L}\{t\,e^{2t}\} +2\,\mathscr{L}\{t\,e^{3t}\} +\mathscr{L}\{t\,e^{4t}\}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula \mathscr{L}\{t\,e^{a t}\}(s)=1/(s-a)^2:
Para t\,e^{2t} ( a=2)
\mathscr{L}\{t\,e^{2t}\}=\frac{1}{(s-2)^2}.
Para t\,e^{3t} ( a=3)
\mathscr{L}\{t\,e^{3t}\}=\frac{1}{(s-3)^2}.
Para t\,e^{4t} ( a=4)
\mathscr{L}\{t\,e^{4t}\}=\frac{1}{(s-4)^2}.

Passo 5

Somando os termos com o fator 2 no segundo, obtemos
F(s) =\frac{1}{(s-2)^2} +2\cdot\frac{1}{(s-3)^2} +\frac{1}{(s-4)^2},
com região de convergência \Re(s)>4.

Resposta

F(s)=\frac{1}{(s-2)^2}+\frac{2}{(s-3)^2}+\frac{1}{(s-4)^2},\quad \Re(s)>4.

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