Obtenha F(s) ou f(t), conforme indicado.
\mathscr{L}\left\{e^{2 t}(t-1)^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da transformada de Laplace
F(s)=\mathscr{L}\{e^{2t}(t-1)^{2}\}
O conteúdo principal é a propriedade de linearidade da transformada e a fórmula
\mathscr{L}\{t^{n}e^{at}\}=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}},\quad \Re(s)>a.

Passo 2

Expandimos o polinômio (t-1)^{2} e aplicamos linearidade:
(t-1)^{2}=t^{2}-2t+1,
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\mathscr{L}\{e^{2t}(t-1)^{2}\} =\mathscr{L}\{t^{2}e^{2t}\} -2\,\mathscr{L}\{t\,e^{2t}\} +\mathscr{L}\{e^{2t}\}.

Passo 3

Usando
\mathscr{L}\{t^{n}e^{at}\}=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}},
para \Re(s)>a com a=2:
\mathscr{L}\{t^{2}e^{2t}\} =\frac{2!}{(s-2)^{3}} =\frac{2}{(s-2)^{3}},
\mathscr{L}\{t\,e^{2t}\} =\frac{1!}{(s-2)^{2}} =\frac{1}{(s-2)^{2}},
\mathscr{L}\{e^{2t}\} =\frac{1}{s-2}.

Passo 4

Substituindo no resultado da linearidade:
F(s) =\frac{2}{(s-2)^{3}} -2\cdot\frac{1}{(s-2)^{2}} +\frac{1}{s-2}.

Resposta

F(s) =\frac{2}{(s-2)^{3}} -\frac{2}{(s-2)^{2}} +\frac{1}{s-2}, \quad \Re(s)>2.

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