Obtenha F(s) ou f(t), conforme indicado.
\mathscr{L}\left\{t e^{-6 t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \;f(t)=t\,e^{-6t}. Vamos usar a definição
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-s t}\,dt
e, em seguida, empregar a integral padrão de uma função do tipo t e^{-a t}.

Passo 2

Substituindo f(t)=t\,e^{-6t} na definição, obtemos
F(s)=\int_{0}^{\infty}t\,e^{-6t}\,e^{-s t}\,dt =\int_{0}^{\infty}t\,e^{-(s+6)\,t}\,dt.

Passo 3

Há uma integral padrão que diz
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-a\,t}\,dt=\frac{1}{a^{2}} \quad\text{para}\\ \Re(a)>0,
que pode ser encontrada em tabelas ou obtida por partes.

Passo 4

Aqui temos a=s+6, cuja parte real deve satisfazer \Re(s+6)>0, isto é, \Re(s)>-6. Logo, aplicando a fórmula,
F(s)=\frac{1}{(s+6)^{2}},\qquad \Re(s)>-6.

Resposta

F(s)=\frac{1}{(s+6)^{2}},\quad \Re(s)>-6.

Exercícios relacionados