Obtenha F(s) ou f(t), conforme indicado.
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2)^{3}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{1}{(s+2)^{3}}
ou seja, dado F(s)=\frac{1}{(s+2)^{3}}, queremos encontrar f(t) tal que \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s). O conteúdo é a propriedade padrão de transformada de Laplace de potências de t multiplicadas por exponenciais.

Passo 2

Lembramos a fórmula conhecida
\mathscr{L}\{t^{n}e^{-at}\} \;=\;\frac{n!}{(s+a)^{\,n+1}}.
Para inverter, se temos
F(s)=\frac{1}{(s+a)^{\,n+1}},
então
f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\} =\frac{t^{n}e^{-at}}{n!}.

Passo 3

No nosso caso, F(s)=1/(s+2)^{3} coincide com a=2 e n+1=3, logo n=2. Substituindo na fórmula de inversão, obtemos
f(t)=\frac{t^{2}e^{-2t}}{2!} =\frac{t^{2}e^{-2t}}{2}.

Resposta

f(t)=\frac{t^{2}}{2}\,e^{-2t},\quad t\ge0.

Exercícios relacionados