Nos Problemas 21-30, utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=1, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial usando transformada de Laplace. Dados e o que é pedido:
  • Equação diferencial: y'' - 6y' + 9y = 1.
  • Condições iniciais: y(0)=0 e y'(0)=1.
  • Objetivo: encontrar explicitamente y(t) para t\ge 0.

Passo 2

Vou aplicar a transformada de Laplace às duas mãos da equação. Lembrete rápido do que é a transformada de Laplace e das fórmulas de derivadas:
  • Definição: \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
  • Para uma função y(t) com transformada Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, valem as fórmulas
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Também \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s}.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace à equação \,y''-6y'+9y=1\, e usando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, obtemos
\mathcal{L}\{y''\}-6\mathcal{L}\{y'\}+9\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{1\}.
Substituindo as fórmulas das derivadas e \mathcal{L}\{1\}:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)-6\big(sY(s)-y(0)\big)+9Y(s)=\frac{1}{s}.

Passo 4

Agora substituo as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1 na expressão do passo anterior:
\big(s^{2}Y(s)-0-1\big)-6\big(sY(s)-0\big)+9Y(s)=\frac{1}{s}.
Simplificando:
s^{2}Y(s)-1-6sY(s)+9Y(s)=\frac{1}{s}.

Passo 5

Coloco os termos com Y(s) juntos:
Y(s)\big(s^{2}-6s+9\big)-1=\frac{1}{s}.
Observando que s^{2}-6s+9=(s-3)^{2}, passo a isolar Y(s):
Y(s)(s-3)^{2}=1+\frac{1}{s}.
Portanto
Y(s)=\frac{1+\dfrac{1}{s}}{(s-3)^{2}}=\frac{1}{(s-3)^{2}}+\frac{1}{s(s-3)^{2}}.

Passo 6

Vou inverter a transformada termo a termo. O primeiro termo é direto:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-3)^{2}}\right\}=t e^{3t},
pois \mathcal{L}\{t e^{at}\}=\dfrac{1}{(s-a)^{2}}. Resta encontrar a transformada inversa de \dfrac{1}{s(s-3)^{2}}.

Passo 7

Faço decomposição em frações parciais de
\frac{1}{s(s-3)^{2}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-3}+\frac{C}{(s-3)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por s(s-3)^{2} obtemos a identidade
1=A(s-3)^{2}+B s(s-3)+C s.

Passo 8

Expando e igualo coeficientes. Primeiro expando:
A(s^{2}-6s+9)+B(s^{2}-3s)+C s = (A+B)s^{2}+(-6A-3B+C)s+9A.
Igualando ao polinômio constante 1\) (ou seja, \(0\cdot s^{2}+0\cdot s+1\)) obtemos o sistema \[\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] -6A-3B+C=0,\\[4pt] 9A=1. \end{cases}
Da terceira equação A=\dfrac{1}{9}\]. Da primeira \(B=-A=-\dfrac{1}{9}. Substituindo em segunda:
-6\cdot\frac{1}{9}-3\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)+C=0
-\frac{6}{9}+\frac{3}{9}+C=0 \quad\Rightarrow\quad -\frac{3}{9}+C=0 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{3}.]

Passo 9

Assim temos a decomposição
\frac{1}{s(s-3)^{2}}=\frac{1/9}{s}-\frac{1/9}{s-3}+\frac{1/3}{(s-3)^{2}}.
Agora aplico a transformada inversa termo a termo:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1/9}{s}\right\}=\dfrac{1}{9}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\dfrac{1/9}{s-3}\right\}=-\dfrac{1}{9}e^{3t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1/3}{(s-3)^{2}}\right\}=\dfrac{1}{3}t e^{3t}.
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s(s-3)^{2}}\right\}=\frac{1}{9}-\frac{1}{9}e^{3t}+\frac{1}{3}t e^{3t}.

Passo 10

Somando o resultado do passo 6 (o primeiro termo t e^{3t}) com o do passo 9, obtemos y(t):
y(t)=t e^{3t}+\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{9}e^{3t}+\frac{1}{3}t e^{3t}\right).
Agrupando os termos semelhantes:
y(t)=\frac{4}{3}t e^{3t}+\frac{1}{9}-\frac{1}{9}e^{3t}.
Opcionalmente podemos reescrever como
y(t)=\frac{1}{9}+\;e^{3t}\!\left(\frac{4}{3}t-\frac{1}{9}\right).

Passo 11

Verificação rápida das condições iniciais (para ter confiança): em t=0,
y(0)=\frac{4}{3}\cdot 0\cdot e^{0}+\frac{1}{9}-\frac{1}{9}e^{0}=0,
e derivando e avaliando em t=0 obtém-se y'(0)=1. Logo as condições iniciais estão satisfeitas.

Resposta

y(t)=\frac{4}{3}t e^{3t}+\frac{1}{9}-\frac{1}{9}e^{3t}.

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