Nos Problemas 21-30, utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial usando transformada de Laplace. Dados e o que é pedido:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e . - Objetivo: encontrar explicitamente
para .
Passo 2
Vou aplicar a transformada de Laplace às duas mãos da equação. Lembrete rápido do que é a transformada de Laplace e das fórmulas de derivadas:
- Definição:
. - Para uma função
com transformada , valem as fórmulas
Também
.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace à equação
e usando
, obtemos
Substituindo as fórmulas das derivadas e
:
Passo 4
Agora substituo as condições iniciais
e
na expressão do passo anterior:
Simplificando:
Passo 5
Coloco os termos com
juntos:
Observando que
, passo a isolar
:
Portanto
Passo 6
Vou inverter a transformada termo a termo. O primeiro termo é direto:
pois
. Resta encontrar a transformada inversa de
.
Passo 7
Faço decomposição em frações parciais de
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Passo 8
Expando e igualo coeficientes. Primeiro expando:
Igualando ao polinômio constante
Da terceira equação
. Substituindo em segunda:
Passo 9
Assim temos a decomposição
Agora aplico a transformada inversa termo a termo:
-
. -
. -
.
Portanto
Passo 10
Somando o resultado do passo 6 (o primeiro termo
) com o do passo 9, obtemos
:
Agrupando os termos semelhantes:
Opcionalmente podemos reescrever como
Passo 11
Verificação rápida das condições iniciais (para ter confiança): em
,
e derivando e avaliando em
obtém-se
. Logo as condições iniciais estão satisfeitas.