Obtenha
para as seguintes funções no domínio do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a Transformada de Laplace, que a gente chama de $ F(s) $, para a função $ \sin(\omega t + \theta) $ no domínio do tempo. Para isso, vamos usar algumas propriedades das transformadas de Laplace, especialmente aquelas envolvendo funções trigonométricas com deslocamento de fase.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de adição de ângulos para o seno. A função $ \sin(\omega t + \theta) $ pode ser escrita como:
Isso vai nos ajudar a separar a função em partes que conhecemos bem a transformada.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a linearidade da Transformada de Laplace. Isso significa que a Transformada de uma soma é a soma das Transformadas. Então, temos:
Aqui, $ \mathcal{L} $ representa a Transformada de Laplace.
Passo 4
Vamos lembrar das Transformadas de Laplace básicas para $ \sin(\omega t) $ e $ \cos(\omega t) $:
Essas fórmulas são padrões que a gente usa bastante.
Passo 5
Substituindo essas Transformadas na nossa equação para $ F(s) $, fica:
Passo 6
Agora, vamos juntar os termos em um único denominador:
Isso simplifica a expressão e deixa tudo certinho.
Resposta
A Transformada de Laplace da função $ \sin(\omega t + \theta) $ é: