Obtenha F(s) para as seguintes funções no domínio do tempo.
sin (omega t+theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a Transformada de Laplace, que a gente chama de $ F(s) $, para a função $ \sin(\omega t + \theta) $ no domínio do tempo. Para isso, vamos usar algumas propriedades das transformadas de Laplace, especialmente aquelas envolvendo funções trigonométricas com deslocamento de fase.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de adição de ângulos para o seno. A função $ \sin(\omega t + \theta) $ pode ser escrita como:
sin(omega t + theta)
Isso vai nos ajudar a separar a função em partes que conhecemos bem a transformada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a linearidade da Transformada de Laplace. Isso significa que a Transformada de uma soma é a soma das Transformadas. Então, temos:
F(s) = Lsin(omega t)costheta + Lcos(omega t)sintheta
Aqui, $ \mathcal{L} $ representa a Transformada de Laplace.

Passo 4

Vamos lembrar das Transformadas de Laplace básicas para $ \sin(\omega t) $ e $ \cos(\omega t) $:
sin(omega t)
cos(omega t)
Essas fórmulas são padrões que a gente usa bastante.

Passo 5

Substituindo essas Transformadas na nossa equação para $ F(s) $, fica:
F(s)

Passo 6

Agora, vamos juntar os termos em um único denominador:
F(s) = omegacostheta + ssinthetas^2 + omega^2
Isso simplifica a expressão e deixa tudo certinho.

Resposta

A Transformada de Laplace da função $ \sin(\omega t + \theta) $ é:
sin(omega t + theta)

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