Obtenha F(s) para as seguintes funções no domínio do tempo.
t e^-t sin 2 t

Passo 1

Temos a função f(t)=t,e^-tsin(2t). O conteúdo é transformada de Laplace e vamos precisar usar a propriedade de deslocamento na frequência (exponencial) e a propriedade de multiplicar por t, que no domínio de s vira uma derivada.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a transformada de Laplace de sin(2t) é Lsin(2t)=2s^2+4.

Passo 3

Aplicando a propriedade de deslocamento na frequência, para g(t)=e^-tsin(2t) temos Lg(t)=G(s+1), ou seja:
Le^-tsin(2t)=2(s+1)^2+4

Passo 4

Agora usamos a propriedade de multiplicação por t: se h(t)=t,g(t), então Lt,g(t)=-ddsG(s), onde G(s)=Lg(t)

Passo 5

Calculamos a derivada: seja
G(s)=2(s+1)^2+4
dGds=2cdotddsl((s+1)^2+4r)^-1=2cdot(-1)2(s+1)l((s+1)^2+4r)^2=-4(s+1)l((s+1)^2+4r)^2

Passo 6

Finalmente,
Lt e^-tsin(2t)=-dGds=4(s+1)l((s+1)^2+4r)^2

Resposta

F(s)=4(s+1)l((s+1)^2+4r)^2

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