Calcule as seguintes integrais:
integral x^5x^3-1 d x (Sugestão: Faça a mudança de variável u=x^3 )

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^5x^3-1,dx, que é uma integral de função racional. Vamos usar divisão de polinômios para simplificar e, depois, a sugestão de substituição u = x^3.

Passo 2

Primeiro, fazemos a divisão de polinômios de x^5 por x^3-1. Observamos que
x^5 = x^2(x^3-1) + x^2
Logo,
x^5x^3-1 = x^2 + x^2x^3-1
Assim a integral fica
integral x^2,dx + integral x^2x^3-1,dx

Passo 3

Na segunda integral, aplicamos a mudança de variável sugerida. Seja u = x^3, então
du = 3x^2,dx
e
x^2,dx = du3

Passo 4

Substituindo em integral x^2x^3-1,dx temos:
integral x^2x^3-1,dx = integral 1u-1 cdot du3 = 13 integral duu-1 = 13 lnl|u-1r| + C1

Passo 5

Voltando a x e juntando com a primeira parte, onde integral x^2,dx = x^33 + C2, obtemos
integral x^5x^3-1,dx = x^33 + 13lnl|x^3-1r| + C,
onde C = C1 + C2 é a constante geral de integração.

Resposta

integral x^5x^3-1,dx = x^33 + 13lnl|x^3-1r| + C

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