Obtenha f^{-1}(7), sabendo que \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{x}{3 x+1}.

Passo 1

O enunciado fornece a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{x}{3x+1} e pede para encontrar f^{-1}(7).
Isso significa: encontrar o (ou os) valor(es) de x tais que \mathrm{f}(x)=7.
Informação importante sobre a função: o denominador não pode ser zero, então 3x+1\neq0, isto é, x\neq -\tfrac{1}{3}. Essa restrição precisa ser respeitada ao resolver.

Passo 2

Escrevemos a equação que define o pré‑imagem de 7:
\frac{x}{3x+1}=7.
Estratégia: multiplicar ambos os lados pelo denominador 3x+1 (permitido desde que 3x+1\neq0, já observado) para eliminar a fração e obter uma equação linear em x.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 3x+1 obtemos
x = 7(3x+1).
Agora vamos desenvolver o lado direito: multiplicar 7 por cada termo dentro do parêntese.

Passo 4

Expandindo:
x = 21x + 7.
Agora isolamos x: subtraímos 21x de ambos os lados,
x-21x = 7,
o que dá
-20x = 7.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por -20 para resolver para x,
x = -\frac{7}{20}.
Precisamos checar a restrição do denominador: calculemos 3x+1 para esse x:
3\!\left(-\frac{7}{20}\right)+1 = -\frac{21}{20} + 1 = -\frac{1}{20}\neq0,
logo o valor é admissível. Para confirmar, podemos substituir na função:
\mathrm{f}\!\left(-\frac{7}{20}\right)=\frac{-\tfrac{7}{20}}{-\tfrac{1}{20}}=\frac{-7}{20}\cdot\left(-\frac{20}{1}\right)=7,
confirmando que encontramos a pré‑imagem correta.

Resposta

-\dfrac{7}{20}

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