Represente em intervalo real o domínio da função f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{1-x}}

Passo 1

O enunciado pede: representar em intervalo real o domínio da função
f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{1-x}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i) }\text{O numerador }x-2\text{ é um polinômio e não impõe restrição.}éôãõçã
\text{(ii) }\text{O denominador é }\sqrt{1-x}\text{, então:}éã
  • a expressão dentro da raiz, 1-x, deve permitir raiz real (ou seja, não pode ser negativa);
  • além disso, como está no denominador, a raiz não pode ser zero (denominador não pode ser zero).

Passo 2

Primeira condição: para a raiz estar definida como número real precisamos ter
1-x \ge 0.
Segunda condição (por estar no denominador): não podemos ter a raiz igual a zero, logo
1-x \ne 0.
Combinando as duas condições obtemos a exigência
1-x>0.

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade
1-x>0.
Subtraindo 1 de ambos os lados e lembrando que ao multiplicar ou dividir por -1 a desigualdade se inverte, temos
-x>-1 \implies x<1.
Aqui usei a regra: se multiplicamos por -1, trocamos o sinal de > para <.

Passo 4

Não há outras restrições (o numerador x-2 é definido para todo x\in\mathbb{R}). Portanto o domínio é o conjunto de todos os números reais que satisfazem x<1.

Resposta

(-\infty,1)

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