Obtenha o fluxo de
para fora da superfície
, onde
e
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente encontrar o fluxo do rotacional do campo vetorial
para fora da superfície
, que é composta por um cilindro lateral
entre
e
, mais a tampa superior
com
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxos de campos vetoriais através de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
, que é representado por
. O rotacional de um vetor campo
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 3
Agora que temos o rotacional de
, vamos calcular o fluxo desse rotacional através da superfície
. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
é dado por:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
A superfície
é composta por duas partes: o cilindro lateral e a tampa superior. Vamos calcular o fluxo em cada parte separadamente e depois somar os resultados.
Passo 4
Fluxo através do cilindro lateral:
Para o cilindro lateral
, o vetor normal
aponta para fora e é dado por:
O rotacional que encontramos é
. Vamos calcular o produto escalar
:
Agora, parametrize o cilindro usando coordenadas cilíndricas. Vamos deixar
,
, e
varia de
a
. A área diferencial
para o cilindro é
.
Então, o fluxo através do cilindro é:
Substituindo
e
:
A integral de
de
a
é zero, pois é uma função ímpar em relação a
.
Então:
Passo 5
Fluxo através da tampa superior:
Para a tampa superior
com
, o vetor normal
aponta para cima, ou seja,
.
O rotacional que encontramos é
. Vamos calcular o produto escalar
:
Agora, a área diferencial
para a tampa é
ou, em coordenadas polares,
.
Então, o fluxo através da tampa é:
A área de um círculo de raio
é
, então:
Resposta
O fluxo de
para fora da superfície
é
.