Obtenha o fluxo de rot F para fora da superfície S, onde F = (-y, x, x^2) e S = { x^2 + y^2 = a^2, z in [0, h] } ∪ {x^2 + y^2 <= a^2, z = h}.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente encontrar o fluxo do rotacional do campo vetorial para fora da superfície S, que é composta por um cilindro lateral entre e , mais a tampa superior com . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxos de campos vetoriais através de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F, que é representado por rot F. O rotacional de um vetor campo é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:

Passo 3

Agora que temos o rotacional de F, vamos calcular o fluxo desse rotacional através da superfície S. O fluxo de um campo vetorial G através de uma superfície S é dado por:
Onde n é o vetor normal à superfície S.
A superfície S é composta por duas partes: o cilindro lateral e a tampa superior. Vamos calcular o fluxo em cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 4

Fluxo através do cilindro lateral:
Para o cilindro lateral , o vetor normal n aponta para fora e é dado por:
O rotacional que encontramos é . Vamos calcular o produto escalar :
Agora, parametrize o cilindro usando coordenadas cilíndricas. Vamos deixar , , e z varia de 0 a h. A área diferencial para o cilindro é .
Então, o fluxo através do cilindro é:
Substituindo e :
A integral de de 0 a é zero, pois é uma função ímpar em relação a pi.
Então:

Passo 5

Fluxo através da tampa superior:
Para a tampa superior com , o vetor normal n aponta para cima, ou seja, .
O rotacional que encontramos é . Vamos calcular o produto escalar :
Agora, a área diferencial para a tampa é ou, em coordenadas polares, .
Então, o fluxo através da tampa é:
Á
A área de um círculo de raio a é pi a^2, então:

Resposta

O fluxo de rot F para fora da superfície S é .

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