Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot n d S, onde
F(x, y, z)=i+j+z(x^2+y^2)^2 k
e S é a superfície do cilindro x^2+y^2 <= 1,0 <= z <= 1, incluindo a lateral e ambas as tampas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo vetorial onde precisamos calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície de um cilindro definido por e . Isso inclui tanto a lateral do cilindro quanto as duas tampas (a de cima e a de baixo). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de superfície para diferentes partes da geometria e aplicar fórmulas do cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a superfície integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaSlat F cdot n , dS + integral duplaStop F cdot n , dS + integral duplaSbottom F cdot n , dS em três partes para facilitar o cálculo: a superfície lateral , a tampa de cima e a tampa de baixo . Assim, a integral total será a soma das integrais sobre cada uma dessas partes:

Passo 3

Vamos começar pela superfície lateral integral duplaSlat F cdot n , dS = integral0^2pi integral0^1 (1 cdot costheta + 1 cdot sintheta + z(cos^2theta + sin^2theta)^2 cdot 0 ) cdot 1 , dz , dtheta . Para parametrizar essa parte do cilindro, usamos coordenadas cilíndricas onde , e , com variando de a e de a .
O vetor normal para a superfície lateral aponta radialmente para fora, ou seja, .
A integral sobre fica:
Note que , então a última parte se anula porque está multiplicada por .

Passo 4

Calculando a integral da superfície lateral:
integral duplaSlat F cdot n , dS = integral0^2pi integral0^1 (costheta + sintheta) , dz , dtheta = integral0^2pi (costheta + sintheta) cdot 1 , dtheta
Agora, integramos em relação a integral0^2pi costheta , dtheta = 0 e integral0^2pi sintheta , dtheta = 0 :
integral duplaSlat F cdot n , dS = 0
Portanto,

Passo 5

Vamos para a tampa de cima F = i + j + 1 cdot (x^2+y^2)^2 k . Nesta parte, integral duplaStop F cdot n , dS = integral duplax^2+y^2 <= 1 ( i + j + (x^2+y^2)^2 k ) cdot k , dA = integral duplax^2+y^2 <= 1 (x^2+y^2)^2 , dA e o vetor normal aponta para cima, ou seja, .
A função vetorial na tampa de cima é:
A integral sobre fica:

Passo 6

Para calcular essa integral, vamos usar coordenadas polares onde integral duplaStop F cdot n , dS = integral0^2pi integral0^1 r^4 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 r^5 , dr , dtheta , integral0^1 r^5 , dr = r^66 |0^1 = 16 e integral duplaStop F cdot n , dS = integral0^2pi 16 , dtheta = 16 cdot 2pi = pi3 . Assim, a integral vira:
Integrando em relação a :
Então,

Passo 7

Agora, vamos para a tampa de baixo F = i + j + 0 cdot (x^2+y^2)^2 k = i + j . Aqui, integral duplaSbottom F cdot n , dS = integral duplax^2+y^2 <= 1 ( i + j ) cdot (-k) , dA = 0 e o vetor normal aponta para baixo, ou seja, .
A função vetorial na tampa de baixo é:
A integral sobre fica:
Porque e são perpendiculares a , o que resulta em zero.

Passo 8

Finalmente, somando todas as partes:
integral duplaS F cdot n , dS = 0 + pi3 + 0 = pi3

Resposta

A integral de superfície é igual a .

Exercícios relacionados