e é a superfície do cilindro , incluindo a lateral e ambas as tampas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo vetorial onde precisamos calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície de um cilindro definido por e . Isso inclui tanto a lateral do cilindro quanto as duas tampas (a de cima e a de baixo). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de superfície para diferentes partes da geometria e aplicar fórmulas do cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a superfície em três partes para facilitar o cálculo: a superfície lateral, a tampa de cima e a tampa de baixo. Assim, a integral total será a soma das integrais sobre cada uma dessas partes:
Passo 3
Vamos começar pela superfície lateral. Para parametrizar essa parte do cilindro, usamos coordenadas cilíndricas onde , e , com variando de a e de a .
O vetor normal para a superfície lateral aponta radialmente para fora, ou seja, .
A integral sobre fica:
Note que , então a última parte se anula porque está multiplicada por .
Passo 4
Calculando a integral da superfície lateral:
Agora, integramos em relação a :
Portanto,
Passo 5
Vamos para a tampa de cima. Nesta parte, e o vetor normal aponta para cima, ou seja, .
A função vetorial na tampa de cima é:
A integral sobre fica:
Passo 6
Para calcular essa integral, vamos usar coordenadas polares onde , e . Assim, a integral vira:
Integrando em relação a :
Então,
Passo 7
Agora, vamos para a tampa de baixo F = i + j + 0 cdot (x^2+y^2)^2 k = i + j . Aqui, integral duplaSbottom F cdot n , dS = integral duplax^2+y^2 <= 1 ( i + j ) cdot (-k) , dA = 0 e o vetor normal aponta para baixo, ou seja, .
A função vetorial na tampa de baixo é:
A integral sobre fica:
Porque e são perpendiculares a , o que resulta em zero.