Calcule , onde e é a parte de acima do plano , e orientada para cima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa calcular a integral dupla , onde . O domínio é a parte da superfície que está acima do plano , e a orientação é para cima. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teorema de Stokes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de , que é . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente:
(já que não há em )
(já que não há em )
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da borda dessa superfície. Matematicamente, isso é:
Onde é a borda de . No nosso caso, é a parte da parábola acima de . Para encontrar a borda, igualamos:
Então, a borda é o círculo no plano . Vamos parametrizar esse círculo em coordenadas polares para facilitar.
Passo 4
Vamos parametrizar a curva usando coordenadas polares:
Onde varia de a . O vetor diferencial de posição é dado por:
Agora, vamos expressar ao longo da curva :
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de linha :
Simplificando:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Para o primeiro termo: (pois a integral de de 0 a é zero).