Calcule integral duplaS rot F cdot d S, onde F=(z^2,-3 x y, x^3 y^3) e S é a parte de z=5-x^2-y^2 acima do plano z=1, e orientada para cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa calcular a integral dupla , onde . O domínio é a parte da superfície que está acima do plano , e a orientação é para cima. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teorema de Stokes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de rot F = nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) , que é rot F = ( 3x^3y^2 - 0, 2z - 3x^2y^3, -3y - 0 ) = ( 3x^3y^2, 2z - 3x^2y^3, -3y ) . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. (já que não há em )
  2. (já que não há em )
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da borda dessa superfície. Matematicamente, isso é:
integral duplaS rot F cdot d S = ointpartial S F cdot d r
Onde 5 - x^2 - y^2 = 1 implies x^2 + y^2 = 4 é a borda de . No nosso caso, é a parte da parábola acima de . Para encontrar a borda, igualamos:
Então, a borda é o círculo no plano . Vamos parametrizar esse círculo em coordenadas polares para facilitar.

Passo 4

Vamos parametrizar a curva x = 2costheta, y = 2sintheta, z = 1 usando coordenadas polares:
dr = drdtheta dtheta = (-2sintheta, 2costheta, 0) dtheta
Onde F = (z^2, -3xy, x^3y^3) = (1^2, -3(2costheta)(2sintheta), (2costheta)^3(2sintheta)^3) = (1, -12costhetasintheta, 8cos^3theta cdot 8sin^3theta) = (1, -12costhetasintheta, 64cos^3thetasin^3theta) varia de a . O vetor diferencial de posição é dado por:
Agora, vamos expressar ao longo da curva :

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de linha ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi [1 cdot (-2sintheta) + (-12costhetasintheta) cdot (2costheta) + 64cos^3thetasin^3theta cdot 0 ] dtheta :
= integral0^2pi [ -2sintheta - 24cos^2thetasintheta ] dtheta
Simplificando:
-24 integral u^2 , du = -24 cdot ( u^33 ) = -8u^3
Agora, vamos integrar termo a termo.
Para o primeiro termo: -8cos^3theta |0^2pi = -8(cos^3(2pi) - cos^3(0)) = -8(1 - 1) = 0 (pois a integral de de 0 a é zero).
Para o segundo termo: .
Vamos fazer uma substituição: seja , então .
Então, a integral vira:
Voltando a :

Resposta

A integral vale 0.

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