Obtenha o foco e a diretriz das parábolas dadas por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o foco e a diretriz da parábola dada pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Vamos precisar completar o quadrado para achar a forma padrão da parábola e, assim, identificar o foco e a diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da parábola de uma maneira que facilite identificar suas características. A equação que temos é
. Para completar o quadrado, olhamos para os termos em
.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para a expressão em
:
Primeiro, pegamos os termos quadráticos e lineares:
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos
:
Simplificando:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora que temos a equação na forma
, podemos comparar com a forma padrão da parábola vertical, que é:
Nesse caso,
,
e
. Isso nos dá o vértice da parábola em
.
Passo 5
Para encontrar o foco e a diretriz de uma parábola na forma
, usamos as fórmulas:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 6
Vamos calcular o foco:
E a diretriz:
Resposta
O foco da parábola é
e a diretriz é
.