Obtenha o foco e a diretriz das parábolas dadas por
y=x^2+4 x+4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o foco e a diretriz da parábola dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Vamos precisar completar o quadrado para achar a forma padrão da parábola e, assim, identificar o foco e a diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da parábola de uma maneira que facilite identificar suas características. A equação que temos é . Para completar o quadrado, olhamos para os termos em .

Passo 3

Vamos completar o quadrado para a expressão em y = x^2 + 4x + 4 :
x^2 + 4x
Primeiro, pegamos os termos quadráticos e lineares:
x^2 + 4x + 4 - 4 + 4
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos (y) = (x^2 + 4x + 4) + 0 = (x + 2)^2 :
y = (x + 2)^2
Simplificando:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora que temos a equação na forma y = a(x - h)^2 + k , podemos comparar com a forma padrão da parábola vertical, que é:
Nesse caso, , e . Isso nos dá o vértice da parábola em .

Passo 5

Para encontrar o foco e a diretriz de uma parábola na forma Foco: (h, k + 14a) , usamos as fórmulas:
Diretriz: y = k - 14a
No nosso caso, , e .

Passo 6

Vamos calcular o foco:
Foco = (h, k + 14a) = (-2, 0 + 14 times 1) = (-2, 14)
E a diretriz:
Diretriz = y = k - 14a = 0 - 14 times 1 = y = -14

Resposta

O foco da parábola é e a diretriz é .

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