Obtenha o foco e a diretriz das parábolas dadas por
y=x^2+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos o foco e a diretriz da parábola dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as propriedades das parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a equação geral de uma parábola com vértice no ponto y = a(x - h)^2 + k e que abre para cima ou para baixo é dada por:
Aqui, determina a “abertura” da parábola e a direção para qual ela se abre.

Passo 3

No nosso caso, a equação é y = 1 cdot (x - 0)^2 + 2 . Vamos reescrevê-la no formato padrão:
Assim, identificamos que:

  • Isso significa que o vértice da parábola está no ponto .

Passo 4

Agora, para encontrar o foco e a diretriz, usamos as seguintes fórmulas:
  • Foco:
  • Diretriz:
    Essas fórmulas nos dizem onde está o foco e qual é a equação da diretriz, baseadas nos valores de , e .

Passo 5

Vamos calcular o foco usando a fórmula:
Foco = (h, k + 14a)
Substituindo os valores que encontramos:
Foco = (0, 2 + 14 cdot 1)
Foco = (0, 2 + 14)
Foco = (0, 2,25)

Passo 6

Agora, vamos determinar a diretriz usando a fórmula:
Diretriz = y = k - 14a
Substituindo os valores:
Diretriz = y = 2 - 14 cdot 1
Diretriz = y = 2 - 14
Diretriz = y = 1,75

Resposta

O foco da parábola está no ponto e a diretriz é a reta .

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