Obtenha o foco e a diretriz das parábolas dadas por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos o foco e a diretriz da parábola dada pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as propriedades das parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a equação geral de uma parábola com vértice no ponto
e que abre para cima ou para baixo é dada por:
Aqui,
determina a “abertura” da parábola e a direção para qual ela se abre.
Passo 3
No nosso caso, a equação é
. Vamos reescrevê-la no formato padrão:
Assim, identificamos que:
-
-
-
Isso significa que o vértice da parábola está no ponto.
Passo 4
Agora, para encontrar o foco e a diretriz, usamos as seguintes fórmulas:
- Foco:
- Diretriz:
Essas fórmulas nos dizem onde está o foco e qual é a equação da diretriz, baseadas nos valores de, e .
Passo 5
Vamos calcular o foco usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos determinar a diretriz usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
O foco da parábola
está no ponto
e a diretriz é a reta
.