Obtenha funções quadráticas cujos gráficos são as parábolas com foco e diretriz, dadas a seguir:
F=(72, 0), r: y=12.

Passo 1

O enunciado pede a parábola de foco F=(7/2,0) e diretriz y=1/2. Isso é sobre seções cônicas, mais especificamente parábolas definidas como o lugar geométrico dos pontos que têm distância ao foco igual à distância à diretriz.

Passo 2

Para achar o vértice usamos que ele fica no ponto médio entre a ordenada do foco e a reta da diretriz, mantendo a mesma abcissa do foco. Assim, a abcissa é h=7/2 e a ordenada é k=(0+1/2)/2=1/4. Logo o vértice é (h,k)=(7/2,1/4).

Passo 3

O parâmetro p é a distância (com sinal) do vértice ao foco ao longo do eixo da parábola. Como o foco está em y=0 e o vértice em y=1/4, temos p=0−1/4=−1/4, indicando que a parábola abre para baixo.

Passo 4

A forma vértice da parábola vertical é (x−h)^2=4p,(y−k) Substituindo h=7/2, k=1/4 e p=−1/4 resulta em (x−7/2)^2=4(−1/4)(y−1/4)=−1,(y−1/4) Isolando y temos y−1/4=−(x−7/2)^2 e portanto y=−(x−7/2)^2+1/4 Expandindo fica y=−x^2+7x−12

Resposta

A função quadrática é y=−(x−7/2)^2+1/4, ou expandindo y=−x^2+7x−12.

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