Obtenha o foco e a diretriz das parábolas dadas por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o foco e a diretriz da parábola dada pela equação
. Isso faz parte do conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre parábolas. Para resolver, vamos precisar reescrever a equação da parábola na forma padrão e usar algumas fórmulas para achar o foco e a diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da parábola de forma mais fácil de trabalhar. A equação inicial é
. Vamos reorganizar os termos para completar o quadrado em
.
Passo 3
Vamos fatorar o coeficiente de
, que é -2, dos termos que envolvem
:
Agora, para completar o quadrado dentro dos parênteses, a gente precisa adicionar e subtrair o quadrado da metade do coeficiente de
.
Passo 4
O coeficiente de
dentro do parênteses é
. A metade dele é
, e o quadrado disso é
. Então, vamos adicionar e subtrair
dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos distribuir o -2 novamente:
Simplificando
para
:
Agora, temos a equação na forma padrão da parábola:
, onde
é o vértice.
Passo 6
Identificando os valores:
O vértice da parábola é, portanto,
.
Passo 7
Sabendo que
, podemos calcular
usando a relação
:
Resolvendo para
:
O valor de
indica a distância do vértice ao foco e à diretriz. Como
é negativo, a parábola abre para baixo.
Passo 8
Agora, vamos encontrar o foco. Como a parábola abre para baixo, o foco estará abaixo do vértice. A coordenada
do foco é
:
Então, o foco está em
.
Passo 9
Para encontrar a diretriz, que é uma linha retangular, usamos a fórmula
:
Então, a diretriz é a linha
.
Resposta
O foco da parábola é
e a diretriz é a reta
.