Obtenha o foco e a diretriz das parábolas dadas por
y=-2 x^2+x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o foco e a diretriz da parábola dada pela equação . Isso faz parte do conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre parábolas. Para resolver, vamos precisar reescrever a equação da parábola na forma padrão e usar algumas fórmulas para achar o foco e a diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da parábola de forma mais fácil de trabalhar. A equação inicial é . Vamos reorganizar os termos para completar o quadrado em .

Passo 3

Vamos fatorar o coeficiente de y = -2(x^2 - 12x) , que é -2, dos termos que envolvem :
Agora, para completar o quadrado dentro dos parênteses, a gente precisa adicionar e subtrair o quadrado da metade do coeficiente de .

Passo 4

O coeficiente de y = -2(x^2 - 12x + 116 - 116) dentro do parênteses é y = -2((x - 14)^2 - 116) . A metade dele é , e o quadrado disso é . Então, vamos adicionar e subtrair dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos distribuir o -2 novamente:
y = -2(x - 14)^2 + 216
Simplificando y = -2(x - 14)^2 + 18 para :
Agora, temos a equação na forma padrão da parábola: , onde é o vértice.

Passo 6

Identificando os valores:
O vértice da parábola é, portanto, .

Passo 7

Sabendo que -2 = 14p , podemos calcular p = 14 times (-2) = -18 usando a relação :
Resolvendo para :
O valor de indica a distância do vértice ao foco e à diretriz. Como é negativo, a parábola abre para baixo.

Passo 8

Agora, vamos encontrar o foco. Como a parábola abre para baixo, o foco estará abaixo do vértice. A coordenada yfoco = 18 + (-18) = 0 do foco é :
Então, o foco está em .

Passo 9

Para encontrar a diretriz, que é uma linha retangular, usamos a fórmula y = 18 - (-18) = 18 + 18 = 14 :
Então, a diretriz é a linha .

Resposta

O foco da parábola é e a diretriz é a reta .

Exercícios relacionados