Obtenha o foco e a diretriz das parábolas dadas por
y=2 x^2-7 x+2.

Passo 1

Então, a gente tem essa parábola aí: . O que a gente precisa fazer é encontrar o foco e a diretriz dessa parábola. Para isso, vamos usar a matéria de equações de segundo grau e geometria analítica. Vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da parábola, o que envolve completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da parábola que abre para cima ou para baixo, que é y = 2(x^2 - 72x) + 2 . Pra isso, vamos completar o quadrado:
Começamos com (-7/22)^2 = (-74)^2 = 4916 .
Fatoramos o 2 dos primeiros dois termos:
y = 2(x^2 - 72x + 4916 - 4916) + 2
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. A gente pega o coeficiente de y = 2((x - 74)^2 - 4916) + 2 , que é y = 2(x - 74)^2 - 498 + 2 , divide por 2 e eleva ao quadrado:
y = 2(x - 74)^2 - 498 + 168
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
y = 2(x - 74)^2 - 338
Distribuímos o 2:
Agora, a equação está na forma padrão , onde , e .

Passo 3

Com a forma padrão em mãos, podemos identificar o vértice da parábola: (74, -338 + 18) = (74, -328) = (74, -4) .
Agora, para encontrar o foco e a diretriz, usamos as seguintes fórmulas para uma parábola que abre para cima ou para baixo:
  • Foco: y = -338 - 18 = -348 = -174
  • Diretriz:
Aqui, , então .
Calculando o foco:
Calculando a diretriz:

Resposta

O foco da parábola é e a diretriz é a reta .

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