Obtenha o foco e a diretriz das parábolas dadas por
.
Passo 1
Então, a gente tem essa parábola aí:
. O que a gente precisa fazer é encontrar o foco e a diretriz dessa parábola. Para isso, vamos usar a matéria de equações de segundo grau e geometria analítica. Vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da parábola, o que envolve completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da parábola que abre para cima ou para baixo, que é
. Pra isso, vamos completar o quadrado:
Começamos com
.
Fatoramos o 2 dos primeiros dois termos:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. A gente pega o coeficiente de
, que é
, divide por 2 e eleva ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Distribuímos o 2:
Agora, a equação está na forma padrão
, onde
,
e
.
Passo 3
Com a forma padrão em mãos, podemos identificar o vértice da parábola:
.
Agora, para encontrar o foco e a diretriz, usamos as seguintes fórmulas para uma parábola que abre para cima ou para baixo:
- Foco:
- Diretriz:
Aqui,
, então
.
Calculando o foco:
Calculando a diretriz:
Resposta
O foco da parábola é
e a diretriz é a reta
.