Resolva pelo método da variação dos parâmetros:
y^prime prime+9 y=9 cossec(3 x)(0

Passo 1

O problema pede para resolver a equação y'' + 9y = 9csc(3x) pelo método da variação de parâmetros. O conteúdo da matéria é solução de equações lineares de segunda ordem não homogêneas, e vamos precisar da solução geral da homogênea, do Wronskiano e das fórmulas de variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é y'' + 9y = 0. As raízes do polinômio característico r^2 + 9 = 0 são r = pm 3i, então a solução homogênea é
yh(x) = C1,cos(3x) + C2,sin(3x) Escolhemos as funções fundamentais y1 = cos(3x) e y2 = sin(3x). Vamos calcular o Wronskiano:
W(y1,y2) = cos(3x) & sin(3x) -3sin(3x) & 3cos(3x) = 3cos^2(3x) + 3sin^2(3x) = 3

Passo 3

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, se chamarmos g(x)=9csc(3x), então
u1'(x) = -g(x),y2(x)W = -9csc(3x)sin(3x)3 = -3,
u2'(x) = g(x),y1(x)W = 9csc(3x)cos(3x)3 = 3cot(3x) Agora integramos:
u1(x) = integral (-3),dx = -3x,
nu2(x) = integral 3cot(3x),dx

Passo 4

Para integrar 3cot(3x), fazemos u=sin(3x), du=3cos(3x)dx. Então
$$\int 3\cot(3x)dx = \int \frac{3\cos(3x)}{\sin(3x)}dx = \int \frac{du}{u} = \ln|\sin(3x)|.
$$ No intervalo integral 3cot(3x)dx = integral 3cos(3x)sin(3x)dx = integral duu = ln|sin(3x)| , 0, logo sin(3x)>0. Assim
ln|sin(3x)| = ln(sin(3x))

Passo 5

A solução particular é
yp(x) = nu1(x),y1(x) + nu2(x),y2(x) = -3xcos(3x) + ln(sin(3x))sin(3x) Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma de yh e yp.

Resposta

y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) - 3xcos(3x) + lnl(sin(3x)r)sin(3x)

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