Ache o domínio das seguintes funções:
a) f(x)=(12)^tg(x)
b) f(x)=raizln (x)
c) f(x)=sen(1x^2)
d) f(x)=sen(x)x^2
e) f(x)=tg(1x)
f) f(x)=arcsen(x^2)
g) f(x)=arccos (3 xx+1)
h) f(x)=arctg(x^2+2)

Passo 1

O exercício pede para encontrar o domínio de várias funções envolvendo exponenciais, logaritmos, raízes, frações, funções trigonométricas e suas inversas. Para isso vamos usar: domínio de logaritmo (argumento > 0); domínio de raiz quadrada (radicando ≥ 0); evitar denominador zero em frações; tangente está definida quando o cosseno ≠ 0; arсsenho e arсcoseno aceitam argumentos em [-1,1]; arctangente aceita todos os reais.

Passo 2

Para f(x)= (1/2)^tg(x) precisamos que tg(x) esteja definido, ou seja cos(x) neq 0. Logo o domínio é
xin R:,xneq tfracpi2 + kpi, kin Z.

Passo 3

Para f(x)= raizln(x) precisamos de ln(x)>=0, ou seja x>=1. Além disso x>0 para o logaritmo existir, mas x>=1 já garante isso. Então o domínio é
[1,infty) .

Passo 4

Para f(x)= sen(tfrac1x^2) só precisamos que x^2neq0 para evitar divisão por zero em 1/x^2. Então o domínio é
Rsetminus0.

Passo 5

Para f(x)= tfracsen(x)x^2 o único cuidado é o denominador x^2neq0. Logo o domínio é
Rsetminus0.

Passo 6

Para f(x)= tg(tfrac1x) precisamos xneq0 e cos(1/x)neq0. Ou seja
1/x neq tfracpi2 + kpi Leftrightarrow x neq tfrac1tfracpi2 + kpi=tfrac2(2k+1)pi, kin Z Além de xneq0, então o domínio é
Rsetminus0,,2/((2k+1)pi)mid kin Z.

Passo 7

Para f(x)= arcsen(x^2) o argumento x^2 deve estar em [-1,1]. Como x^2>=0, basta x^2<=1, ou seja |x|<=1. Assim o domínio é
[-1,1].

Passo 8

Para f(x)= arccos(tfrac3xx+1) precisamos xneq-1 no denominador e
-1<= tfrac3xx+1<=1 Resolvendo ambas as desigualdades obtemos o domínio
[ -1/4, 1/2 ].

Passo 9

Para f(x)= arctg(x^2+2) o arco-tangente está definido para todo real, e x^2+2>0 para todo x. Portanto o domínio é
R.

Resposta

a) xin R:,xneq tfracpi2 + kpi, kin Z
b) [1,infty)
c) Rsetminus0
d) Rsetminus0
e) Rsetminus0,,2/((2k+1)pi)mid kin Z
f) [-1,1]
g) [-1/4,1/2]
h) R

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