Resolva o PVI:
2 y^prime prime+5 cdot y^prime+3 y=0, y(0)=3 ; y^prime(0)=-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um problema de valor inicial (PVI) com a seguinte equação diferencial:
2y'' + 5y' + 3y = 0
E as condições iniciais são:
y(0) = 3
y'(0) = -4
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimento sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente vai encontrar a solução geral da equação e depois ajustar os parâmetros usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar os cálculos:
y'' + 52y' + 32y = 0
Isso torna a equação mais simples, mas não muda a essência do problema.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Isso significa substituir y'' por r^2, y' por r e y por 1:
r^2 + 52r + 32 = 0
Essa equação nos ajuda a encontrar os valores de r que vão nos dar a solução geral.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de r. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 52 e c = 32.
Calculando o discriminante ( Δ):
Δ = (52)^2 - 4 cdot 1 cdot 32 = 254 - 6 = 254 - 244 = 14

Passo 5

Como o discriminante é positivo ( Δ = 14), temos duas raízes reais e distintas:
r = -52 pm raiz142 = -52 pm 122
Isso dá:
r1 = -5 + 14 = -1
r2 = -5 - 14 = -32

Passo 6

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-32t
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Vamos aplicar a primeira condição inicial y(0) = 3:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 3
Então, temos a equação:
C1 + C2 = 3 (1)

Passo 8

Agora, vamos derivar y(t) para encontrar y'(t):
y'(t) = -C1 e^-t - 32C2 e^-32t
Aplicando a segunda condição inicial y'(0) = -4:
y'(0) = -C1 - 32C2 = -4
Então, temos a equação:
-C1 - 32C2 = -4 (2)

Passo 9

Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações (1) e (2):
C1 + C2 = 3 -C1 - 32C2 = -4
Vamos multiplicar a primeira equação por 1 para facilitar:
C1 + C2 = 3
E a segunda equação já está pronta:
-C1 - 32C2 = -4

Passo 10

Vamos somar as duas equações para eliminar C1:
(C1 + C2) + (-C1 - 32C2) = 3 + (-4)
Isso simplifica para:
-12C2 = -1
Portanto:
C2 = 2

Passo 11

Agora que sabemos que C2 = 2, vamos substituir na equação (1) para encontrar C1:
C1 + 2 = 3
Então:
C1 = 1

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = e^-t + 2 e^-32t

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