Resolva o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um problema de valor inicial (PVI) com a seguinte equação diferencial:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimento sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente vai encontrar a solução geral da equação e depois ajustar os parâmetros usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar os cálculos:
Isso torna a equação mais simples, mas não muda a essência do problema.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Isso significa substituir
por
,
por
e
por 1:
Essa equação nos ajuda a encontrar os valores de
que vão nos dar a solução geral.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Passo 5
Como o discriminante é positivo (
), temos duas raízes reais e distintas:
Isso dá:
Passo 6
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 7
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Então, temos a equação:
Passo 8
Agora, vamos derivar
para encontrar
:
Aplicando a segunda condição inicial
:
Então, temos a equação:
Passo 9
Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações (1) e (2):
Vamos multiplicar a primeira equação por 1 para facilitar:
E a segunda equação já está pronta:
Passo 10
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Isso simplifica para:
Portanto:
Passo 11
Agora que sabemos que
, vamos substituir na equação (1) para encontrar
:
Então:
Resposta
A solução do PVI é: