Algumas propriedades sobre números complexos fornecem as igualdades
(a) ;
(b) para z2 neq 0).
Faça a verificação dessas igualdades para o seguinte par de números complexos z1=3+4 i e z2=12-5 i.
Passo 1
O exercício pede para verificar as propriedades de módulo de números complexos: (a) |z1 z2| = |z1|,|z2| e (b) |z1 / z2| = |z1| / |z2|, usando z1 = 3 + 4i e z2 = 12 - 5i. Vamos precisar calcular os módulos de z1 e z2, bem como de z1 z2 e de z1 / z2.
Passo 2
Calcular o módulo de z1 e de z2. Usamos a definição |a+bi| = raiza^2 + b^2: |z_1| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5, e |z_2| = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = 13.
Passo 3
Verificar (a): calcular z1 z2 e seu módulo. Primeiro o produto: z1 z2 = (3 + 4i)(12 - 5i) = 36 -15i +48i -20i^2 = 56 + 33i. Então |z_1 z_2| = \sqrt{56^2 + 33^2} = \sqrt{3136 + 1089} = \sqrt{4225} = 65. Comparando, |z_1|,|z_2| = 5 \times 13 = 65, logo |z_1 z_2| = |z_1|,|z_2|.
Passo 4
Verificar (b): calcular z1 / z2 e seu módulo. Fazemos a divisão por conjugado: z1z2 = 3+4i12-5i = (3+4i)(12+5i)12^2+5^2 = 16 + 63i169 = 16169 + 63169i. O módulo é raiz(16/169)^2 + (63/169)^2 = 1169raiz256 + 3969 = 65169 = 513. Como |z_1|/|z_2| = 5/13, temos |z_1 / z_2| = |z_1| / |z_2|.
Resposta
As igualdades são verificadas: (a) |z₁z₂| = 65 = |z₁|·|z₂| e (b) |z₁/z₂| = 5/13 = |z₁|/|z₂|.