Obtenha as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as funções hiperbólicas inversas usando logaritmos naturais. Isso quer dizer que vamos transformar funções como a função tangente hiperbólica inversa (arctanh) em uma expressão que envolva logaritmos. Para isso, vamos usar algumas propriedades das funções hiperbólicas e dos logaritmos naturais. Então, vamos passo a passo para entender como chegar nessa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função tangente hiperbólica inversa, ou seja, a
. Essa função é a inversa da tangente hiperbólica (
), o que significa que ela “desfaz” a operação da
. Para encontrar a expressão da
em termos de logaritmos naturais, vamos começar com a definição da tangente hiperbólica:
Aqui, queremos achar
em função de
, ou seja,
.
Passo 3
Sabemos que a tangente hiperbólica pode ser expressa usando exponenciais:
Nosso objetivo é resolver essa equação para
.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador:
Agora, distribuindo o
no lado direito:
Passo 5
Vamos juntar todos os termos que contêm
de um lado e os termos que contêm
do outro lado:
Fatorando
no lado esquerdo e
no lado direito:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o
do lado direito:
Isso simplifica para:
Passo 7
Isolando
:
Agora, precisamos resolver para
.
Passo 8
Para resolver para
, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados da equação:
Sabemos que
, então:
Passo 9
Finalmente, isolando
:
Então, a função tangente hiperbólica inversa em termos de logaritmos naturais é:
Resposta
A função tangente hiperbólica inversa é dada por: