Obtenha as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais.
arg tanh x=12 ln (1+x1-x),-1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as funções hiperbólicas inversas usando logaritmos naturais. Isso quer dizer que vamos transformar funções como a função tangente hiperbólica inversa (arctanh) em uma expressão que envolva logaritmos. Para isso, vamos usar algumas propriedades das funções hiperbólicas e dos logaritmos naturais. Então, vamos passo a passo para entender como chegar nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função tangente hiperbólica inversa, ou seja, a arg tanh x. Essa função é a inversa da tangente hiperbólica ( tanh x), o que significa que ela “desfaz” a operação da tanh. Para encontrar a expressão da arg tanh x em termos de logaritmos naturais, vamos começar com a definição da tangente hiperbólica:
tanh y = x
Aqui, queremos achar y em função de x, ou seja, arg tanh x = y.

Passo 3

Sabemos que a tangente hiperbólica pode ser expressa usando exponenciais:
tanh y = e^y - e^-ye^y + e^-y = x
Nosso objetivo é resolver essa equação para y.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por e^y + e^-y para eliminar o denominador:
e^y - e^-y = x (e^y + e^-y)
Agora, distribuindo o x no lado direito:
e^y - e^-y = x e^y + x e^-y

Passo 5

Vamos juntar todos os termos que contêm e^y de um lado e os termos que contêm e^-y do outro lado:
e^y - x e^y = x e^-y + e^-y
Fatorando e^y no lado esquerdo e e^-y no lado direito:
e^y (1 - x) = e^-y (1 + x)

Passo 6

Agora, vamos multiplicar ambos os lados por e^y para eliminar o e^-y do lado direito:
e^y cdot e^y (1 - x) = (1 + x)
Isso simplifica para:
e^2y (1 - x) = 1 + x

Passo 7

Isolando e^2y:
e^2y = 1 + x1 - x
Agora, precisamos resolver para y.

Passo 8

Para resolver para y, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados da equação:
ln(e^2y) = ln(1 + x1 - x)
Sabemos que ln(e^2y) = 2y, então:
2y = ln(1 + x1 - x)

Passo 9

Finalmente, isolando y:
y = 12 ln(1 + x1 - x)
Então, a função tangente hiperbólica inversa em termos de logaritmos naturais é:
arg tanh x = 12 ln(1 + x1 - x), -1 < x < 1

Resposta

A função tangente hiperbólica inversa é dada por:
arg tanh x = 12 ln(1 + x1 - x), -1 < x < 1

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