Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
x(x+1) y^prime+x y=1, com y(e)=1

Passo 1

Estamos lidando com um problema de valor inicial que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear: x(x+1)y' + x y = 1, com y(e)=1. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividimos a equação por x(x+1) para colocá-la na forma padrão y' + P(x)y = Q(x). Isso dá: y' + 1x+1y = 1x(x+1).
Aqui identificamos P(x)=1x+1 e Q(x)=1x(x+1).

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 1x+1dx = x+1.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=x+1. Do lado esquerdo obtemos a derivada do produto (x+1)y, e do lado direito: (x+1)cdot 1x(x+1) = 1x. Logo
ddxl((x+1)yr) = 1x .

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x, temos
(x+1)y = integral 1xdx = ln|x| + C .

Passo 6

Isolemos y para obter a solução geral: y = ln|x| + Cx+1.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(e)=1. Substituindo: 1 = ln(e) + Ce+1 = 1 + Ce+1. Daí C = e.

Resposta

y(x) = \frac{\ln x + e}{x+1}

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