Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
Estamos lidando com um problema de valor inicial que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear:
, com
. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Dividimos a equação por
para colocá-la na forma padrão
. Isso dá:
.
Aqui identificamos e
.
Aqui identificamos
Passo 3
Calculamos o fator integrante
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original por
. Do lado esquerdo obtemos a derivada do produto
, e do lado direito:
. Logo
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
, temos
Passo 6
Isolemos
para obter a solução geral:
.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo:
. Daí
.
Resposta
y(x) = \frac{\ln x + e}{x+1}