Simplifique as expressões racionais:
\begin{aligned} & \frac{x^{2}+3 x+2}{x^{2}-x-2} \\ & \frac{2 x^{2}-x-1}{x^{2}-9} \cdot \frac{x-3}{2 x+1} \\ & \frac{x^{2}}{x^{2}-4}-\frac{x+1}{x-2} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede para simplificar (reduzir) as seguintes expressões racionais:
    1. \dfrac{x^{2}+3x+2}{x^{2}-x-2}
    2. \dfrac{2x^{2}-x-1}{x^{2}-9}\cdot\dfrac{x-3}{2x+1}
    3. \dfrac{x^{2}}{x^{2}-4}-\dfrac{x+1}{x-2}
  • Informações relevantes (explícitas nas expressões):
    • Em todas as frações, devemos considerar as restrições do domínio: valores de x que anulam qualquer denominador não são permitidos.
    • Para simplificar faremos fatoração de polinômios, cancelamento de fatores comuns e, no caso da terceira expressão, obtenção de denominador comum.

Passo 2

Simplificando a expressão 1: \dfrac{x^{2}+3x+2}{x^{2}-x-2}.
  • Primeiro passo: fatorar numerador e denominador. Lembra: para fatorar um trinômio quadrático x^{2}+bx+c busca-se dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c.
  • Fatorando o numerador \,x^{2}+3x+2:
    x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
  • Fatorando o denominador \,x^{2}-x-2:
    x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
    (Aqui os números que multiplicam dão -2 e somam -1: -2 e 1.)
  • Reescrevendo a fração com esses fatores:
    \frac{(x+1)(x+2)}{(x-2)(x+1)}.
  • Agora, cancelar fatores comuns: há um fator (x+1) no numerador e no denominador, que pode ser cancelado desde que x\neq -1 (pois x=-1 anula esse fator no denominador original).
    Após o cancelamento obtemos
    \frac{x+2}{x-2}.
  • Restrições de domínio para esta expressão (vindas dos denominadores originais): x\neq 2 e x\neq -1.

Passo 3

Simplificando a expressão 2: \dfrac{2x^{2}-x-1}{x^{2}-9}\cdot\dfrac{x-3}{2x+1}.
  • Começar fatorando cada polinômio:
    • Fatorando o numerador 2x^{2}-x-1. Procuramos fatores do tipo (ax+b)(cx+d).
      Testando, temos
      2x^{2}-x-1=(2x+1)(x-1).
      (Verificação rápida: 2x\cdot x=2x^{2}; 2x\cdot(-1)=-2x; 1\cdot x=+x; soma -2x+x=-x.)
    • Fatorando o denominador x^{2}-9, que é uma diferença de quadrados:
      x^{2}-9=(x-3)(x+3).
  • Substituindo as fatorações na expressão:
    \frac{(2x+1)(x-1)}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{x-3}{2x+1}.
  • Agora observar fatores comuns que podem ser cancelados: (x-3) e (2x+1) aparecem tanto no numerador quanto no denominador. Cancelando-os (lembrando das restrições abaixo) o que resta é
    \frac{x-1}{x+3}.
  • Restrições de domínio (valores proibidos por anularem denominadores originais): x\neq 3, x\neq -3, x\neq -\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Simplificando a expressão 3: \dfrac{x^{2}}{x^{2}-4}-\dfrac{x+1}{x-2}.
  • Identificar fatoração útil: x^{2}-4 é diferença de quadrados:
    x^{2}-4=(x-2)(x+2).
  • Para subtrair frações precisamos de denominador comum. O denominador comum natural é (x-2)(x+2).
  • Reescrever cada fração com o denominador comum:
    • A primeira fração já tem denominador (x-2)(x+2): \frac{x^{2}}{(x-2)(x+2)}.
    • A segunda fração \dfrac{x+1}{x-2} multiplica-se por \dfrac{x+2}{x+2} para ter o denominador comum: \frac{x+1}{x-2}=\frac{(x+1)(x+2)}{(x-2)(x+2)}.
  • Subtrair numeradores sobre o mesmo denominador:
    \frac{x^{2}-(x+1)(x+2)}{(x-2)(x+2)}.
  • Expandir e simplificar o numerador:
    (x+1)(x+2)=x^{2}+3x+2,
    então
    x^{2}-(x^{2}+3x+2)=x^{2}-x^{2}-3x-2=-3x-2.
  • A expressão fica
    \frac{-3x-2}{(x-2)(x+2)}.
  • Podemos tirar um sinal negativo para ficar mais limpo:
    -\frac{3x+2}{(x-2)(x+2)}.
  • Restrições de domínio (vindas dos denominadores originais): x\neq 2 e x\neq -2.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (resumidas e amigáveis):
  • Sempre fatorar polinômios (trinomios e diferenças de quadrados) — isso é o que abre caminho para cancelamentos.
  • Ao cancelar, anotar os valores proibidos (onde denominador original é zero). Mesmo que cancele um fator, aquele valor continua proibido.
  • Para subtração ou adição de racionais, faça denominador comum antes de combinar numeradores; expanda com cuidado para evitar erro de sinais.
  • Pratique fatoração de x^{2}+bx+c e reconhecimento de a^{2}-b^{2} — são passos que economizam tempo.

Resposta

\dfrac{x+2}{x-2} , com x\neq 2,\,-1
\dfrac{x-1}{x+3} , com x\neq 3,\,-3,\,-\dfrac{1}{2}
-\dfrac{3x+2}{(x-2)(x+2)} , com x\neq 2,\,-2

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