Simplifique as expressões racionais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
-
Pede para simplificar (reduzir) as seguintes expressões racionais:
-
-
Informações relevantes (explícitas nas expressões):
- Em todas as frações, devemos considerar as restrições do domínio: valores de
que anulam qualquer denominador não são permitidos. - Para simplificar faremos fatoração de polinômios, cancelamento de fatores comuns e, no caso da terceira expressão, obtenção de denominador comum.
- Em todas as frações, devemos considerar as restrições do domínio: valores de
Passo 2
Simplificando a expressão 1:
.
-
Primeiro passo: fatorar numerador e denominador. Lembra: para fatorar um trinômio quadrático
busca-se dois números cuja soma seja e cujo produto seja . -
Fatorando o numerador
: -
Fatorando o denominador
: (Aqui os números que multiplicam dãoe somam : e .) -
Reescrevendo a fração com esses fatores:
-
Agora, cancelar fatores comuns: há um fator
no numerador e no denominador, que pode ser cancelado desde que (pois anula esse fator no denominador original).
Após o cancelamento obtemos -
Restrições de domínio para esta expressão (vindas dos denominadores originais):
e .
Passo 3
Simplificando a expressão 2:
.
-
Começar fatorando cada polinômio:
-
Fatorando o numerador
. Procuramos fatores do tipo .
Testando, temos(Verificação rápida:; ; ; soma .) -
Fatorando o denominador
, que é uma diferença de quadrados:
-
-
Substituindo as fatorações na expressão:
-
Agora observar fatores comuns que podem ser cancelados:
e aparecem tanto no numerador quanto no denominador. Cancelando-os (lembrando das restrições abaixo) o que resta é -
Restrições de domínio (valores proibidos por anularem denominadores originais):
, , .
Passo 4
Simplificando a expressão 3:
.
-
Identificar fatoração útil:
é diferença de quadrados: -
Para subtrair frações precisamos de denominador comum. O denominador comum natural é
. -
Reescrever cada fração com o denominador comum:
- A primeira fração já tem denominador
: - A segunda fração
multiplica-se por para ter o denominador comum:
- A primeira fração já tem denominador
-
Subtrair numeradores sobre o mesmo denominador:
-
Expandir e simplificar o numerador:então
-
A expressão fica
-
Podemos tirar um sinal negativo para ficar mais limpo:
-
Restrições de domínio (vindas dos denominadores originais):
e .
Passo 5
Dicas rápidas para a prova (resumidas e amigáveis):
- Sempre fatorar polinômios (trinomios e diferenças de quadrados) — isso é o que abre caminho para cancelamentos.
- Ao cancelar, anotar os valores proibidos (onde denominador original é zero). Mesmo que cancele um fator, aquele valor continua proibido.
- Para subtração ou adição de racionais, faça denominador comum antes de combinar numeradores; expanda com cuidado para evitar erro de sinais.
- Pratique fatoração de
e reconhecimento de — são passos que economizam tempo.