- Obtenha o gráfico de
apresentando todos os cálculos que justifiquem (corretamente) o esboço do gráfico supracitado.
Passo 1
O enunciado pede: obter o gráfico da função
e apresentar todos os cálculos que justifiquem corretamente o esboço. Vou recolher claramente as informações que já temos do enunciado:
- A função dada é
. - Não foi fornecida imagem nem restrição extra; portanto devemos estudar a função em todo o domínio natural dela.
- O objetivo é determinar domínio, limites nas extremidades do domínio, interceptos com eixos, derivadas, monotonicidade, pontos críticos, convexidade/concavidade (segunda derivada), pontos de mínimo/máximo locais e linhas tangentes relevantes para poder esboçar o gráfico com fundamento.
Passo 2
Determinar o domínio e se a função está definida em pontos notáveis.
- O logaritmo natural
está definido apenas para . Portanto o domínio é
- A função não está definida para
. Contudo é importante verificar o comportamento quando se aproxima de pela direita ( ) e quando .
Passo 3
Calcular os limites nas bordas do domínio para saber onde o gráfico vai:
- Limite quando
. Vamos mostrar que .
Fazer a substituição
. Então, quando
tem-se
e
Agora usamos L’Hôpital para
. As funções
e
vão para infinito, então
Logo
Importante: o valor do limite é
, mas a função não está definida em
. O comportamento é que
aproxima-se de
por valores negativos (porque
para
).
- Limite quando
. Use a substituição . Então e quando . Assim
Como
cresce muito mais rápido que
, tem-se
portanto
Passo 4
Calcular a derivada primeira para estudar monotonicidade e pontos críticos.
- Usamos a regra do produto: se
então
- O ponto crítico ocorre onde
. Logo
- Sinal de
: - Para
: então . A função é decrescente nesse intervalo. - Para
: então . A função é crescente nesse intervalo.
- Para
Portanto
é um candidato a mínimo local (passa de decrescente para crescente).
Passo 5
Classificar o ponto crítico usando a segunda derivada (convexidade).
- Calcule a segunda derivada:
- Para todo
, tem-se . Isso significa que a função é convexa (côncava para cima) em todo o domínio . - Como
em todo lugar, o ponto crítico em é um mínimo global no domínio.
Calcule o valor da função nesse mínimo:
Passo 6
Interceptos e tangentes importantes:
- Intercepto com o eixo
: resolver :
Logo a curva cruza o eixo
em
com
.
- Intercepto com o eixo
: não existe porque a função não está definida em . Contudo o limite quando é , então o gráfico tende à origem pelo lado direito (valores negativos). - Tangente no ponto
(útil para esboçar): e . A reta tangente em tem equação
Essa reta toca o gráfico em
com inclinação
.
Passo 7
Resumo qualitativo para o esboço (tudo justificado pelos cálculos):
- Domínio:
. - Limite em
: , vindo por valores negativos. - Limite em
: . - Derivada:
. -
em : função decrescente aí. -
em : ponto crítico. -
em : função crescente aí.
-
- Segunda derivada:
para todo . A função é convexa em todo o domínio; o ponto é um mínimo global. - Valor mínimo:
. - Raiz:
. Tangente em é . - Comportamento próximo de
: a curva desce rapidamente (pois quando ) e aproxima-se de pela esquerda (valores negativos). - Comportamento para grande
: cresce para , com inclinação também tendendo a (lentamente), já que .
Passo 8
Como esboçar na prática (passo a passo que eu faria na prova):
- Desenhar o eixo
(porque domínio é ). - Marcar o ponto
— mínimo global. - Marcar a interseção com o eixo
em . - Lembrar que o gráfico se aproxima de
pelo lado direito, com valores negativos para . - Traçar uma curva descendente de perto de
(começando perto de em ), atingir o mínimo em , depois subir cruzando o eixo em e continuar subindo para . Garantir que a curva é convexa (sem “entalhes”: sempre côncava para cima). - Se quiser, desenhar a reta tangente
em para referência.
Resposta
Domínio:
(por valores negativos)
e
para
Ponto crítico e mínimo global: com
Monotonicidade: decrescente em , crescente em
Raiz: (cruza o eixo
em
)
Reta tangente em :
Ponto crítico e mínimo global:
Monotonicidade: decrescente em
Raiz:
Reta tangente em