1. Obtenha o gráfico de
Q(x)=x \ln x
apresentando todos os cálculos que justifiquem (corretamente) o esboço do gráfico supracitado.

Passo 1

O enunciado pede: obter o gráfico da função
Q(x)=x\ln x
e apresentar todos os cálculos que justifiquem corretamente o esboço. Vou recolher claramente as informações que já temos do enunciado:
  • A função dada é Q(x)=x\ln x.
  • Não foi fornecida imagem nem restrição extra; portanto devemos estudar a função em todo o domínio natural dela.
  • O objetivo é determinar domínio, limites nas extremidades do domínio, interceptos com eixos, derivadas, monotonicidade, pontos críticos, convexidade/concavidade (segunda derivada), pontos de mínimo/máximo locais e linhas tangentes relevantes para poder esboçar o gráfico com fundamento.

Passo 2

Determinar o domínio e se a função está definida em pontos notáveis.
  • O logaritmo natural \ln x está definido apenas para x>0. Portanto o domínio é
\text{Dom}(Q) = (0,\infty).
  • A função não está definida para x\le 0. Contudo é importante verificar o comportamento quando x se aproxima de 0 pela direita ( x\to0^+) e quando x\to\infty.

Passo 3

Calcular os limites nas bordas do domínio para saber onde o gráfico vai:
  1. Limite quando x\to0^+. Vamos mostrar que \lim_{x\to0^+}x\ln x=0.
Fazer a substituição u=\dfrac{1}{x}. Então, quando x\to0^+ tem-se u\to\infty e
x\ln x=\frac{1}{u}\ln\!\left(\frac{1}{u}\right)=-\frac{\ln u}{u}.
Agora usamos L’Hôpital para \lim_{u\to\infty}\dfrac{\ln u}{u}. As funções \ln u e u vão para infinito, então
\lim_{u\to\infty}\frac{\ln u}{u}=\lim_{u\to\infty}\frac{(1/u)}{1}=0.
Logo
\lim_{x\to0^+}x\ln x = -0 = 0.
Importante: o valor do limite é 0, mas a função não está definida em x=0. O comportamento é que Q(x) aproxima-se de 0 por valores negativos (porque \ln x<0 para 0<x<1).
  1. Limite quando x\to\infty. Use a substituição t=\ln x. Então x=e^{t} e t\to\infty quando x\to\infty. Assim
x\ln x = e^{t} t.
Como e^{t} cresce muito mais rápido que 1/t, tem-se
\lim_{t\to\infty} e^{t} t = +\infty,
portanto
\lim_{x\to\infty} x\ln x = +\infty.

Passo 4

Calcular a derivada primeira para estudar monotonicidade e pontos críticos.
  • Usamos a regra do produto: se Q(x)=x\ln x então
Q'(x) = (x)'\ln x + x(\ln x)' = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.
  • O ponto crítico ocorre onde Q'(x)=0. Logo
\ln x + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \ln x = -1 \quad\Rightarrow\quad x = e^{-1}=\frac{1}{e}.
  • Sinal de Q'(x):
    • Para 0<x<\dfrac{1}{e}: \ln x < -1 então Q'(x)<0. A função é decrescente nesse intervalo.
    • Para x>\dfrac{1}{e}: \ln x > -1 então Q'(x)>0. A função é crescente nesse intervalo.
Portanto x=\dfrac{1}{e} é um candidato a mínimo local (passa de decrescente para crescente).

Passo 5

Classificar o ponto crítico usando a segunda derivada (convexidade).
  • Calcule a segunda derivada:
Q''(x) = (\ln x + 1)' = \frac{1}{x}.
  • Para todo x>0, tem-se Q''(x)=\dfrac{1}{x}>0. Isso significa que a função é convexa (côncava para cima) em todo o domínio (0,\infty).
  • Como Q''(x)>0 em todo lugar, o ponto crítico em x=\dfrac{1}{e} é um mínimo global no domínio.
Calcule o valor da função nesse mínimo:
Q\!\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\ln\!\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}(-1)=-\frac{1}{e}.

Passo 6

Interceptos e tangentes importantes:
  • Intercepto com o eixo x: resolver Q(x)=0:
x\ln x =0 \quad\Rightarrow\quad \text{como }x>0,\\ \ln x=0 \Rightarrow x=1.
Logo a curva cruza o eixo x em x=1 com Q(1)=0.
  • Intercepto com o eixo y: não existe porque a função não está definida em x=0. Contudo o limite quando x\to0^+ é 0, então o gráfico tende à origem pelo lado direito (valores negativos).
  • Tangente no ponto x=1 (útil para esboçar): Q(1)=0 e Q'(1)=\ln 1 +1 = 1. A reta tangente em x=1 tem equação
y = Q'(1)\,(x-1)+Q(1) = 1\cdot(x-1)+0 = x-1.
Essa reta toca o gráfico em (1,0) com inclinação 1.

Passo 7

Resumo qualitativo para o esboço (tudo justificado pelos cálculos):
  • Domínio: (0,\infty).
  • Limite em 0^+: \displaystyle \lim_{x\to0^+}Q(x)=0, vindo por valores negativos.
  • Limite em +\infty: \displaystyle \lim_{x\to\infty}Q(x)=+\infty.
  • Derivada: Q'(x)=\ln x +1.
    • Q'(x)<0 em (0,1/e): função decrescente aí.
    • Q'(x)=0 em x=1/e: ponto crítico.
    • Q'(x)>0 em (1/e,\infty): função crescente aí.
  • Segunda derivada: Q''(x)=1/x>0 para todo x>0. A função é convexa em todo o domínio; o ponto x=1/e é um mínimo global.
  • Valor mínimo: Q(1/e)=-1/e.
  • Raiz: Q(1)=0. Tangente em x=1 é y=x-1.
  • Comportamento próximo de 0: a curva desce rapidamente (pois Q'(x)\to -\infty quando x\to0^+) e aproxima-se de 0 pela esquerda (valores negativos).
  • Comportamento para grande x: cresce para +\infty, com inclinação também tendendo a +\infty (lentamente), já que Q'(x)=\ln x +1 \to +\infty.

Passo 8

Como esboçar na prática (passo a passo que eu faria na prova):
  1. Desenhar o eixo x>0 (porque domínio é (0,\infty)).
  2. Marcar o ponto \left(\dfrac{1}{e},-\dfrac{1}{e}\right) — mínimo global.
  3. Marcar a interseção com o eixo x em x=1.
  4. Lembrar que o gráfico se aproxima de (0,0) pelo lado direito, com valores negativos para 0<x<1.
  5. Traçar uma curva descendente de perto de x=0^+ (começando perto de 0 em y\approx0^-), atingir o mínimo em x=1/e, depois subir cruzando o eixo em x=1 e continuar subindo para +\infty. Garantir que a curva é convexa (sem “entalhes”: sempre côncava para cima).
  6. Se quiser, desenhar a reta tangente y=x-1 em x=1 para referência.

Resposta

Domínio: (0,\infty)
\displaystyle \lim_{x\to0^+}Q(x)=0 (por valores negativos)
\displaystyle \lim_{x\to\infty}Q(x)=+\infty
Q'(x)=\ln x +1 e Q''(x)=\dfrac{1}{x}>0 para x>0
Ponto crítico e mínimo global: x=\dfrac{1}{e} com Q\!\left(\dfrac{1}{e}\right)=-\dfrac{1}{e}
Monotonicidade: decrescente em (0,\tfrac{1}{e}), crescente em (\tfrac{1}{e},\infty)
Raiz: Q(1)=0 (cruza o eixo x em x=1)
Reta tangente em x=1: y=x-1

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