Calcule a seguinte integral, por integração por Partes:
integral0^1 arctg x d x ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integral0^1 arctan(x) , dx usando a técnica de integração por partes. Integração por partes é uma ferramenta que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar duas partes na nossa integral: uma que vamos derivar e outra que vamos integrar. Vamos ver como aplicar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Agora, precisamos escolher o que será u e o que será dv. Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples quando derivada. No nosso caso, vamos escolher:
u = arctan(x) e dv = dx
Agora, vamos encontrar du e v:
du = ddx [arctan(x)] , dx = 11 + x^2 , dx
v = integral dv = integral dx = x

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral0^1 arctan(x) , dx = u cdot v |0^1 - integral0^1 v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= arctan(x) cdot x |0^1 - integral0^1 x cdot 11 + x^2 , dx
Vamos calcular a primeira parte:
arctan(x) cdot x |0^1 = arctan(1) cdot 1 - arctan(0) cdot 0 = pi4 cdot 1 - 0 = pi4
Agora, restou calcular essa integral:
integral0^1 x1 + x^2 , dx
Fazendo uma substituição simples, deixe w = 1 + x^2, então dw = 2x , dx, ou seja, x , dx = dw2. A integral vira:
12 integralw=1^w=2 1w , dw = 12 ln|w| |1^2 = 12 (ln 2 - ln 1) = 12 ln 2

Resposta

Assim, juntando tudo:
integral0^1 arctan(x) , dx = pi4 - 12 ln 2

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