O conteúdo aqui envolve análise de domínio, imagem e esboço de gráficos de uma função polinomial cúbica e de uma função valor absoluto. Vamos precisar usar noções de união de intervalos, limites de funções e comportamento assintótico.
Passo 2
Para achar o domínio, observamos os intervalos em que cada parte está definida: a primeira peça em (−infty,0] e a segunda em (0,+infty). Fazendo a união, o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Dom(f)=(-infty,+infty)=R
Passo 3
Agora vamos à imagem. Primeiro, para x<=0 temos
y1=-2(x+1)^3+2
Quando xto-infty, (x+1)^3to-infty e, portanto, y1to+infty. Em x=0, y1=-2cdot1^3+2=0. Como a função cúbica aqui é contínua e monótona decrescente em (−infty,0], o conjunto de valores é
[y1(0),+infty)=[0,+infty)
Para x>0, a parte y2=|x^2-1| em (0,1) varia de quase 1 (quando xto0^+) até 0 (em x=1), e para x>=1 cresce de 0 até +infty. Logo a imagem dessa peça também é
[0,+infty)
Unindo as duas partes, a imagem total é
Im(f)=[0,+infty)
Passo 4
Para esboçar o gráfico, combine:
Em (−infty,0]: o ramo cúbico y=-2(x+1)^3+2 que vai de +infty até o ponto (0,0), com inflexão em (-1,2) e inclinação nula ali.
Em (0,+infty): o ramo “V” de y=|x^2-1|, que em x=1 atinge o mínimo (1,0), decresce de perto de 1 para 0 em (0,1) e cresce quadrático para +infty.
Passo 5
O gráfico é contínuo em x=0 (ambos dão f(0)=0) e exibe o comportamento descrito acima.
Resposta
Domínio: R. Imagem: [0,+infty). O gráfico é composto pelo ramo cúbico y=-2(x+1)^3+2 em x<=0, que parte de +infty, passa por (-1,2) e chega em (0,0), e pelo ramo y=|x^2-1| em x>0, que faz um “V” com mínimo (1,0) e cresce para +infty.