Com relação a solução do problema de valor inicial:
Qual dos seguintes comportamentos limites é uma característica dessa solução:
Escolha uma opção: y -1 quando t infty y -infty quando t infty
Nenhuma das demais alternativas y infty quando t infty y 0 quando t infty y 1 quando t infty
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre resolver um problema de valor inicial para uma equação diferencial. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem e entender como encontrar o comportamento da solução quando o tempo $ t $ vai para o infinito. O objetivo é descobrir para qual valor $ y(t) $ se aproxima conforme $ t $ cresce bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
y'' + 5y' + 3y = 0
E as condições iniciais:
y(0) = 1
y'(0) = 0
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar a solução da equação diferencial homogênea associada. A forma geral da solução depende das raízes da equação característica.
A equação característica é obtida substituindo $ y = e^{rt} $ na equação diferencial:
y = e^rt
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
r
Então, temos duas raízes reais distintas:
r = -5 pm raiz25 - 122 = -5 pm raiz132
r1 = -5 + raiz132
Passo 5
Com as raízes $ r_1 $ e $ r_2 $, a solução geral da equação diferencial é:
r1
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Aplicando a condição inicial $ y(0) = 1 $:
y(0) = 1
Agora, aplicamos a condição $ y’(0) = 0 $. Primeiro, encontramos a derivada de $ y(t) $:
1 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow 1 = C1 + C2
Aplicando $ t = 0 $:
y'(0) = 0
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações:
C1 + C2 = 1
C1 r1 + C2 r2 = 0
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.
Passo 8
Depois de encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $, substituímos na solução geral para ter a solução específica do problema.
Passo 9
Para determinar o comportamento limite $ y(t) $ quando $ t \rightarrow \infty $, observamos os coeficientes das exponenciais. Como ambas as raízes $ r_1 $ e $ r_2 $ são negativas, as exponenciais decaem para zero quando $ t $ tende ao infinito.
Resposta
Portanto, $ y \rightarrow 0 $ quando $ t \rightarrow \infty $.