Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções f: R^2 R, z=f(x, y), utilizando o critério da segunda derivada.
z=2-x^2-6 y^2

Passo 1

Estamos trabalhando com a superfície dada por f(x,y)=2−x²−6y² e vamos usar o critério da segunda derivada para classificar possíveis extremos.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
f_x=∂f/∂x=−2x e f_y=∂f/∂y=−12y
Para encontrar pontos críticos, resolvemos o sistema f_x=0 e f_y=0, o que dá x=0 e y=0.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem:
f_{xx}=∂²f/∂x²=−2
f_{yy}=∂²f/∂y²=−12
f_{xy}=∂²f/∂x∂y=0
O discriminante é
D=f_{xx}·f_{yy}−(f_{xy})²= (−2)·(−12)−0=24>0.

Passo 4

Como D>0 e f_{xx}=−2<0, concluímos que o ponto crítico (0,0) é um ponto de máximo local (e, neste caso, global).

Resposta

A superfície tem um único ponto de máximo em (0,0) com valor z=2. Não há mínimos nem pontos de sela.

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