Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções
, utilizando o critério da segunda derivada.
Passo 1
Estamos trabalhando com a superfície dada por f(x,y)=2−x²−6y² e vamos usar o critério da segunda derivada para classificar possíveis extremos.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
f_x=∂f/∂x=−2x e f_y=∂f/∂y=−12y
Para encontrar pontos críticos, resolvemos o sistema f_x=0 e f_y=0, o que dá x=0 e y=0.
f_x=∂f/∂x=−2x e f_y=∂f/∂y=−12y
Para encontrar pontos críticos, resolvemos o sistema f_x=0 e f_y=0, o que dá x=0 e y=0.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem:
f_{xx}=∂²f/∂x²=−2
f_{yy}=∂²f/∂y²=−12
f_{xy}=∂²f/∂x∂y=0
O discriminante é
D=f_{xx}·f_{yy}−(f_{xy})²= (−2)·(−12)−0=24>0.
f_{xx}=∂²f/∂x²=−2
f_{yy}=∂²f/∂y²=−12
f_{xy}=∂²f/∂x∂y=0
O discriminante é
D=f_{xx}·f_{yy}−(f_{xy})²= (−2)·(−12)−0=24>0.
Passo 4
Como D>0 e f_{xx}=−2<0, concluímos que o ponto crítico (0,0) é um ponto de máximo local (e, neste caso, global).
Resposta
A superfície tem um único ponto de máximo em (0,0) com valor z=2. Não há mínimos nem pontos de sela.